3.2 Fonction trinôme du second degré
Mots à retenir
la fonction trinôme du second degré (квадратичная функция)
une allure(поведение)
la parabole est orientée vers le haut (ветви параболы направлены вверх)
la parabole est orientée vers le bas (ветви параболы направлены вниз)
le sens de variation (монотонность)
est
croissante(
возрастает)
est
décroissante(
убывает)
la translation de vecteur... (параллельный перенос на вектор …)
Définitions
1) On
appelle fonction
trinôme du second degré, ou
parfois seulement trinôme,
toute fonction qui peut s’écrire sous la forme
2) La
courbe
représentative de
f a donc pour équation
C’est
une parabole
de sommet S (α ; β), d’abscisse
et d’ordonnée
.
Remarque : lorsque
le trinôme
a deux racines distinctes x1
et x2,
l’abscisse α du sommet de la parabole est la moyenne des deux
racines :
Selon le
signe du discriminant Δ de a, on peut préciser les différentes
allures
possibles
pour la parabole
:
-
Si Δ > 0,
s’annule pour deux valeurs, donc la courbe coupe l’axe des
abcsisses en deux points. -
Si Δ = 0, la courbe et l’axe des abcsisses n’ont qu’un point commun.
-
Si Δ < 0,
ne
s’annule pas, donc la courbe ne coupe pas l’axe des abcsisses.
-
Si a > 0 la parabole est orientée vers le haut.
-
Si a < 0 la parabole est orientée vers le bas.
Le tableau suivant illustre les six cas possibles.
|
Discriminant |
Δ < 0 |
Δ = 0 |
Δ > 0 |
|
|
Solution de l’équation |
Pas de solution |
Une seule solution
|
Deux solutions distinctes |
|
|
Position de la parabole |
a > 0
|
|
|
|
|
a < 0 |
|
|
|
|
Par exemple :
1) La
courbe représentative de la fonction définie par
est
une parabole de sommet S (2 ; 0). Comme a = 2, positif, la
parabole est tournée vers le haut.
2) La
courbe représentative de la fonction définie par
est
une parabole de sommet S (1 ; 5). Comme a = -2, négatif, la
parabole est tournée vers le bas.
Méthode
Pour étudier les variations d’une fonction trinôme du second degré et tracer sa courbe représentative :
-
On calcule l’abscisse du sommet
et
son ordonnée
,
en remplaçant x par α. -
Suivant le signe du coefficient de x2 on obtient l’allure de la parabole, représentant f et on en déduit le sens de variation de la fonction f.
Par exemple : f
est la fonction trinôme définie par
.
Sa courbe représentative est la parabole de sommet S (-1 ; -4).
C
omme
a = 2, positif, la parabole est tournée
vers le
haut. Δ = 16 > 0,
s’annule
pour x1 = -3 et x2 = 1 , donc la courbe coupe
l’axe des abcsisses en deux points.
Sa représentation graphique est donnée ci-contre.
On obtient le sens de variation :
est
croissante pour
[-1
;
+∞ [ ;
est
décroissante pour
]–
∞ ; -1].
Méthode
Pour tracer
la courbe représentative d’une parabole on peut utiliser la forme
canonique du trinôme. Donc
La
translation de vecteur
permet
de passer de la parabole d’équation
à
la parabole d’équation
Par exemple :
On
considère les fonctions 
.
En utilisant la translation de la parabole (1)
d’équation
on
peut tracer les courbes 1
représentatives des fonctions. 3
La
translation de vecteur
permet
de passer
de la parabole d’équation
à la
parabole (2) d’équation
.
2
La
translation de vecteur
permet
de passer
de la parabole d’équation
à
la
parabole (3) d’équation
.