4. Suites
4.1 Notion de suite
Mots à retenir
une suite (последовательность)
le terme initial de la suite (первый член последовательности)
le terme général de la suite (общий член последовательности)
l’indice, le rang (номер члена в последовательности)
une formule explicite (формула n-го члена)
une formule de récurrence (рекуррентная формула)
Définitions
1)
Définir
une
suite
,
c’est associe à tout entier naturel n un nombre réel noté
.
2) Soit
n un entier naturel,
est
le
terme d’indice n
ou de
rang n
de la suite
.
3)
désignant une suite,
est
appelé terme
général
de
.
Le terme initial de la suite est
,
ou
quand
la suite est définie à partir de p.
4) Le
terme
qui suit
se
note
,
celui qui précède
est
pour
n > 0.
P
ar
exemple : la
figure ci-dessous indique la formation des nombres dits
« triangulaires ».
C’est un
exemple de suite numérique
.
Le terme initial de la suite est
.
Le terme de
rang 2 de
est
.
Le terme de rang 3 de
est
.
Le terme de rang 4 est
Une suite finie est une liste de nombres. Mais une suite peut être définie à l’aide d’une formule.
5)
Lorsque
pour tout n ,
est
exprimé en fonction de n indépendamment des termes précédents, on
dit que la suite
est
définie
de manière explicite.
-
est
la formule
explicite.
6)
Lorsque
la suite
est
définie par la donnée de ses premiers termes et d’une relation
exprimant chaque autre terme en fonction de termes précédents, on
dit que la suite
est
définie
par récurrence.
-
est
la formule
de
récurrence,
lorsque le terme est fonction de précédent , dans ce cas, il faut
indiquer le terme initial.
7) On
peut représenter une suite
soit
en plaçant sur l’axe des réels les points d’abscisses
soit
en plaçant dans un repère du plan les points de coordonnées
(n ;
).
Par exemple :
Pour les
nombres triangulaires, on constate que
(la
formule explicite). On peut aussi remarquer que l’on peut passer de
à
en ajoutant n + 1. On a
(
la formule de récurrence).
8) Une
suite
est
croissante
lorsque,
pour tout entier naturel n, on a :
ou
9) Une
suite
est
décroissante
lorsque,
pour tout entier naturel n, on a :
ou
Exercices
190) Pour chacune des suites, trouver les trois nombres suivants :
191) Exprimer chaque suite en fonction de n :
a) suite des entiers impairs ; b) siute des multiples de 5 ; c) suite des multiples de 3, supérieurs à 9 ; d) suite des puissances de 10, supérieures ou égales à 1.
192) Exprimer par une formule de récurrence la suite définie par le procédé suivant : « le terme initial est 4, un terme est égal à la somme du double du précédent et de 5. » Calculer les cinq termes après le terme initial.
193) Une suite, de terme initial 2, est définie par le le procédé suivant : « un terme est égal à l’inverse du terme précédent, augmenté de 1. » Exprimer cette suite par une formule de récurrence et calculer les cinq termes après le terme initial.
194) Exprimer par une formule de récurrence la suite définie par le procédé suivant : a) Le terme initial est 100 ; un terme est égal au précédent augmenté de 6% . b) Le terme initial est 1 000 ; un terme est égal au précédent diminué du cinquième. c) Le terme initial est 20 ; pour obtenir un terme, on prend 60 % du précédent et on ajoute 7.
Calculer les cinq termes après le terme initial.
195)
Calculer
les termes
et
de
chacune des suites suivantes :
196) On
considère la suite
définie
par le terme initial
et
la formule de récurrence
.
Calculer
et
pour
197) Pour chacune des situations, donner un modèle sous forme d’une suite récurrente, calculer quelques termes.
a)Cas d’une population qui augmente de 5 % et diminue de 1 000 individus. La population est 30 000 habitants au départ.
b) Population de 100 000 habitants qui diminue de 6 % et augmente de 4 000 habitants.
c) Une rente est constituée par un capital de 50 000 € qui produit 8 % d’intérêts, mais on retire chaque année 6 500 €. En combien d’années aura-t-on « manger » la capital ?
198)
Étudier
le sens de variation de la suite
199) Dans chacun des cas suivants, déterminer si la suite proposée est croissante ou décroissante. Justifier.
200) On
considère la suite
définie par
Exprimer
puis
en
fonction de n.
201) On
considère la suite
définie par
Placer
dans un repère les cinq premiers points de la représentation
graphique de
202) On
considère la suite
définie par
Placer
dans un repère les cinq premiers points de la représentation
graphique de
