3. Гіпербола, порабола геометричні властивості кривих іншого порядку.
61. Дано
гіперболу
.
Знайти:
1) півосі а й
;
2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння
директрис; 5) рівняння асимптот.
62. Дано
гіперболу
Знайти:
1) півосі а й
;
2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння
директрис; 5) рівняння асимптот.
63. Визначити
фокальні радіуси точки
гіперболи
64.
Ексцентриситет гіперболи
,
фокальний радіус точки М гіперболи
дорівнює 16. Обчислити відстань від точки
М до однобічної із цим фокусом директриси.
65.
Ексцентриситет гіперболи
,
відстань від точки М гіперболи до
директриси дорівнює 4. Обчислити відстань
від точки М до фокуса, однобічного із
цією директрисою.
66.
Ексцентриситет гіперболи
,
центр її лежить на початку координат,
один з фокусів
.
Обчислити відстань від точки
гіперболи з абсцисою, рівної 13, до
директриси, що відповідає заданому
фокусу.
67.
Ексцентриситет гіперболи
,
центр її лежить на початку координат,
одна з директрис дана рівнянням
. Обчислити відстань від точки
гіперболи з абсцисою, рівної 10, до фокуса,
що відповідає заданій директрисі.
68.
Визначити точки гіперболи
, відстань яких до правого фокуса дорівнює
4,5.
69.
Визначити точки гіперболи
,
відстань яких до лівого фокуса дорівнює
7.
70. Через
лівий фокус гіперболи
проведений перпендикуляр до її осі, що
містить вершини. Визначити відстані
від крапок перетинання цього перпендикуляра
з гіперболою до фокусів.
71. Користуючись
одним циркулем, побудувати фокуси
гіперболи
(уважаючи, що осі координат зображена
й масштабна одиниця задана).
72. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо дані:
точки
й
гіперболи;
точка
гіперболи й ексцентриситет;
точка
гіперболи
й рівняння директрис
4) точка
гіперболи й рівняння асимптот
5)
рівняння
асимптот і
рівняння директрис
73. Визначити ексцентриситет рівносторонньої гіперболи.
74.
Визначити ексцентриситет гіперболи,
якщо відрізок між її вершинами видний
з фокусів сполученої гіперболи під
кутом в
75. Фокуси
гіперболи збігаються з фокусами еліпса
. Скласти рівняння гіперболи, якщо її
ексцентриситет
76. Скласти
рівняння гіперболи, фокуси якої лежать
у вершинах еліпса
, а директриси проходять через фокуси
цього еліпса.
77.
Визначити точки перетинання прямої
й параболи
78. У наступних випадках визначити, як розташована дана пряма щодо даної параболи - чи перетинає, дотикається або проходить поза нею:
79.
Визначити, при яких значеннях кутового
коефіцієнта
k
пряма
перетинає
параболу
дотикається її;
проходить поза цією параболою.
80. Вивести
умову, при якому пряма
дотикається параболи
81. Скласти
рівняння дотичної до параболи
в її точці
82. Скласти
рівняння дотичної до параболи
,
паралельної вектору
Скласти
рівняння дотичної до параболи
,
перпендикулярної до вектора
83. Скласти
рівняння дотичних до параболи
проведених із точки
84. Із
точки
проведені дотичні до параболи
Скласти рівняння хорди, що з'єднує точки
торкання.
85. Визначити
точки перетинання еліпса
й параболи
86. Визначити
точки перетинання гіперболи
й параболи
87. Визначити точки перетинання двох парабол:
88. Довести, що пряма, що дотикається параболи в деякій точці М, становить рівні кути з фокальним радіусом точки М и променем, що, виходячи з М, іде паралельно осі параболи в ту сторону, куди парабола нескінченно простирається.
89. Довести, що дві параболи, що мають загальну вісь і загальний фокус, розташований між їхніми вершинами, перетинаються під прямим кутом.
90. Довести, що якщо дві параболи із взаємно перпендикулярними осями перетинаються в чотирьох точках і точки лежать на одному колі.
91. Точка
, маючи початкове положення
, рухається прямолінійно й рівномірно
в напрямку вектора
зі швидкістю
.
Скласти рівняння руху точки М
и, переконавшись, що її траєкторія
перетинає параболу
, визначити, за який проміжок часу точка
М
пройде відрізок своєї траєкторії від
до цієї параболи.