4. Спрощення рівняння кривої другого порядку за допомогою перетворення системи координат.

I. За допомогою перетворення повороту прямокутної декартової системи координат привести до канонічного вигляду наступні рівняння кривих другого порядку:

92.

93.

94. .

95.

96.

97. .

98. .

99. .

II. За допомогою переносу початку прямокутної декартової системи координат привести до канонічного вигляду наступні рівняння кривих другого порядку. Написати формули перетворення координат і зобразити дані криві на малюнку.

100. .

101. .

102. .

103. .

104. .

105. .

106.

За допомогою перетворення повороту прямокутної декартової системи координат і переносу початку привести до канонічного вигляду наступні рівняння кривих і написати формули перетворення координат.

107. .

108. .

109. .

110. .

111. .

112. .

113. .

114.

115. .

116. .

117.

118.

119.

120.

121.

122.

5. Асимптоти. Дотичні до кривих другого порядку.

123. Знайти точки перетину кривої з

прямими:

а) ;

6) .

124. Знайти точки перетину кривої другого порядку :

а) з прямою ;

б) з віссю Ох,

в) з віссю Оу.

125. Знайти вектори асимптотичного напрямку для наступних кривих другого порядку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

126. Написати рівняння асимптот наступних кривих другого порядку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

127. Скласти рівняння прямої, яка дотикається до еліпса в точці

128. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку і дотикається до еліпса .

129. Знайти рівняння тих дотичних до еліпса які паралельні прямій .

130. Довести, що добуток відстаней від фокусів до будь-якої дотичної до еліпса дорівнює квадрату малої півосі.

131. Довести, що відрізок дотичної до еліпса в будь-якій точці, який знаходиться між дотичними, проведеними в вершинах, що лежать на великій осі, видний з фокусів під прямим кутом.

132. Довести оптичну властивість еліпса: будь-яка дотична до еліпса утворює рівні кути з фокальними радіусами точки дотику.

133. Довести, що коло, діаметром якого є фокальний радіус будь-якої точки еліпса, дотикається до кола, побудованого на великій осі еліпса, як на діаметрі.

134. Скласти рівняння дотичної до гіперболи в точці .

135. Написати необхідну і достатню умову дотику прямої до гіперболи , якщо дана пряма не паралельна асимптотам гіперболи.

136. Написати рівняння дотичних до гіперболи , які утворюють з віссю Ох кути, рівні ±30°. Для кожної з дотичних знайти точку дотику.

137. Довести, що дотичні в вершинах гіперболи, заданої канонічним рівнянням, паралельні осі Оу.

138. Довести, що добуток відстаней від фокусів до будь-якої дотичної до гіперболи є величина постійна, рівна , де - уявна піввісь.

139. Довести, що відрізок будь-якої дотичної до гіперболи, який знаходиться між асимптотами, ділиться в точці дотику навпіл.

140. Довести оптичну властивість гіперболи: дотична до гіперболи в довільній точці М є бісектриса кута , де і - фокуси гіперболи.

141. Довести, що площа неорієнтованого трикутника, утвореного асимптотами гіперболи і довільної дотичної до гіперболи, є величина постійна, рівна .

142. Довести, що дотичні, проведені з фокусів гіперболи до кола, побудованого на дійсній осі, як на діаметрі, перетинають асимптоти в точках дотику.

143. Довести, що коло, діаметром якого служить фокальний радіус будь-якої точки гіперболи, дотикається до кола, побудованого на дійсній осі гіперболи, як на діаметрі.

144. Скласти рівняння дотичної до параболи в точці (2; -4).

145. Написати рівняння прямих, які мають кутові коефіцієнти:

а) ;

б) ;

в) які дотикаються до параболи

146. Знайти найкоротшу відстань від точок параболи до прямої .

147. Довести, що якщо з будь-якої точки директриси проведені до параболи дві дотичні, то пряма, яка з'єднує точки дотику, проходить через фокус параболи.

148. Довести оптичну властивість параболи: будь-яка дотична до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки і з променем, який проходить через точку дотику і спів напрямлений з віссю.

149. Через точку провести дотичні до кривої .

150. Через початок координат провести дотичні до кривої .

151. До кривої провести дотичні, паралельні прямій .

152. Для кривої визначити діаметри, спряжені з вектором:

а) ;

6) ;

в) .

153. Знайти діаметр кривої :

а) спряжений осі Ох; б) спряжений осі Оу.

154. Знайти спільний діаметр двох кривих другого порядку

і .

155. Знайти рівняння діаметра кривої , який проходить через точку (2; І).

156. Написати рівняння двох спряжених діаметрів кривої , один із яких паралельний осі Оу.

157. Скласти рівняння двох спряжених діаметрів кривої , один із яких паралельний прямій .

158. Знайти два спряжених діаметри кривої , один із яких проходить через точку .

159. Знайти рівняння і довжини двох спряжених діаметрів еліпса , один із яких проходить через точку .

160. Скласти рівняння двох спряжених діаметрів гіперболи , кут між якими 45°.

161. Написати рівняння діаметра параболи , який проходить через середину хорди, яку вітгинає парабола на прямій .

162. Знайти головні напрямки наступних кривих другого порядку, заданих в прямокутній декартовій системі координат:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ,

163. Знайти центр для кожної з наступних кривих:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

164. Знайти осі наступних парабол:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .