Свойства векторного произведения:

1. Антикоммутативность: .

Доказательство:

Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■

2. Однородность: .

Доказательство:

Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .

Возможны два случая:

Рис. 2.30

В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.

Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■

3. Дистрибутивность:

Доказательство:

Для доказательства приведём две леммы.

Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости на единичный вектор , ортогональный плоскости , поворачивает вектор на угол по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор .

Доказательство:

По определению , причём вектор ортогонален векторам и , значит, он лежит на плоскости . Тройка векторов , , правая, следовательно, поворот от вектора к вектору совершается на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . ■

Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор равно , где – геометрическая проекция вектора на плоскость , ортогональную вектору .

Доказательство:

По определению векторного произведения векторы . Рассмотрим их модули: ;

. По условию . ■

Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора его орт . Пусть векторы ,, некомпланарные. Обозначим , – геометрические проекции векторов на плоскость ортогональному вектору . Тогда по лемме 2 имеем , причём вектор получен поворотом вектора на угол по часовой стрелке (по лемме 1).

Аналогично, и , причём векторы и получены поворотами векторов и на угол по часовой стрелке, соответственно. Тогда сумма даёт нам вектор , т.е. .

Таким образом, мы показали, что . Умножим обе части равенства на , получим: . ■

Теорема1. Критерий коллинеарности

Векторы и коллинеарные тогда и только тогда, когда . (доказать самостоятельно)

Векторное произведение в дпск

Рассмотрим векторы и в ДПСК . Для базисных векторов , , имеем: , , , или

рис. 2.34

Тогда в силу линейности векторного произведения

.

Итак, . Для запоминания последней формулы удобно использовать псевдоопределитель:

.

Раскрывая этот «определитель», стоящий в правой части, по элементам первой строки, получим разложение вектора по базису .

Пример.  Дан . На сторонах треугольника выбраны соответственно точки так, чтобы , , . При каком площадь треугольника наименьшая?