Другие уравнения прямой:

1. Теперь проведём прямую через точки и . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .

2. Преобразуем последнее равенство:

;. Тогда уравнение также задаёт прямую , где:

- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );

- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .

Аналогично п. 12.1 можно получить нормальное уравнение прямой и уравнение данной прямой в отрезках.

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые и заданы общими или каноническим уравнениями. Тогда угол между прямыми можно найти следующим образом:

, .

Если же прямая задана в виде , где и - угловые коэффициенты прямых и соответственно, то:

(формула тангенса разности двух углов).

Условие перпендикулярности:

1. ;

2. ;

3. .

Условие параллельности:

1. ;

2. ;

3. .

Расстояние от точки до прямой

Аналогично п. 12.1 расстояние от точки до прямой определяется равенством , где .

Итак, .

П. 12.3 Прямая в пространстве

Характеристики: направляющий вектор и точка.

Базовая задача:

рис. 2.45

Проведём прямую через точку , параллельно данному направляющему вектору . Выберем для этого произвольную точку , лежащую на прямой . Тогда векторы и коллинеарные. Следовательно, .

Последние равенства называют каноническим уравнением прямой. Из канонического задания прямой можно получить параметрические уравнения прямой: .

Прямую в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и .

Перейдём к каноническому заданию прямой . Для этого надо задать направляющий вектор и точку , через которую проходит данная прямая. Заметим, что вектор (в силу определения векторного произведения). При общем рас положении данных плоскостей они пересекут какую-либо из координатных плоскостей, например, , . Тогда

- точка пересечения плоскостей и . Эта точка будет лежать и на прямой . В силу неоднородности выбора точки обратная задача не ставится.

Угол между прямыми

Заметим, что угол между двумя прямыми можно определить только в том случае, если эти прямые лежат в одном плоскости.

Рассмотрим две прямые и , произвольно расположенные в пространстве:

.

Тогда для того, чтобы прямые и лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы векторы , и были компланарными. В силу критерия компланарности должно выполняться равенство . Тогда угол между прямыми и определяется как угол между соответствующими направляющими векторами: .

В частности, прямые и :

• параллельны, если ;

• перпендикулярны, если .

Если же смешанное произведение , то прямые и называются скрещивающимися.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость

.

П.13 Линии второго порядка п.13.1 Эллипс

Всякий знает, что такое кривая, пока не вы- учится математике настолько, что в конец запутается в бесчисленных исключениях.

Ф. Клейн

рис.2.47

Определение 1. Эллипсом называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой уравнение примет вид .  и  называют полуосями эллипса (для определённости ), – линейным эксцентриситетом, точки и – фокусами, а ось – фокальной осью. Величину , называемую эксцентриситетом эллипса, можно рассматривать как меру его вытянутости: чем больше , тем меньше отношение . Прямые , задаваемые , называют директрисами эллипса.