Решение:

Пусть , . Тогда ,. Поэтому Минимум этого выражения достигается при , т. е. в случае, когда - медианы . Этот минимум равен .

П. 11 Произведения тройки векторов п. 11.1 Смешанное произведение векторов

Определение 1. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение одного из них с векторным произведением двух оставшихся .

Замечание.  Геометрический смысл смешанного произведения. Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов ,,, приведённых к общему началу. Тогда модуль смешанного произведения векторов ,, равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Действительно,

, где , . Заметим, что если тройка векторов , , – правая, то , если , , – левая, то .

Свойства смешанного произведения

1. Ассоциативность: .

Доказательство:

Очевидно, что , так как каждая часть равенства выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Заметим, что обе тройки ,, и ,, правые, значит в силу коммутативности скалярного произведения. ■

2. Правило циклической перестановки:

.

Доказательство:

Модули всех этих смешанных произведений равны. Первые три смешанных произведения имеют одну ориентацию, последние три – другую. ■

3. Линейность по каждому аргументу:

,

,

.

Доказательство:

Поскольку и скалярные, и векторные произведения однородны и дистрибутивны, т.е. линейны, то и смешанное произведение линейно по всем трем векторам. ■

Теорема 1. Критерий компланарности векторов

Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .

Доказательство:

Пусть векторы ,,.

Необходимость. Путь векторы , компланарны.

По определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы ,, - компланарны.

Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. ,, - компланарны. ■

Смешанное произведение в ДПСК

Рассмотрим векторы , , в ДПСК . Тогда, учитывая, что

,

получаем .

Пример. При каком векторы , , будут компланарны?

Решение:

Воспользуемся критерием компланарности. Векторы ,, компланарны тогда и только тогда, когда . Вычислим определитель и решим уравнение относительно : ; .

Пример.  Даны векторы , , трёх рёбер тетраэдра , выходящих из вершины . Найти вектор высоты тетраэдра, опущенной из вершины на плоскость .

Решение:

Вектор ортогонален плоскости , т.е. коллинеарен вектору

. Следовательно, существует такое число , что . Вектор компланарен векторам и . Тогда найдутся такие числа и , что . Получаем для , . Умножим обе части равенства скалярно на и получим: , т.е. . Таким образом,

.

п. 11.2 Двойное векторное произведение векторов

Определение 1. Двойным векторным произведением векторов ,, называют вектор , равный векторному произведению одного из векторов тройки на векторное произведение оставшихся .

Замечание. Мнемоническое правило для запоминания: .

Теорема1. .

Доказательство:

рис. 2.39

Из определения векторного произведения вектор ортогонален плоскости . Вектор ортогонален плоскости, в которой лежат вектора и , т.е. лежит в плоскости . Таким образом, вектор можно разложить по базису (в силу неколлинеарности векторов и ): . Умножим последнее равенство скалярно на вектор , получим . Так как векторы и ортогональны, то , т.е. .

Итак, , учитывая коммутативность скалярного произведения. Покажем, что . Введём ДПСК так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда . Рассмотрим произведение , ; , ;

,.

Сравнивая последнее равенство со следующим , получаем . ■