3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3

3.1. Найти обратную матрицу

.

3.2. Найти обратную матрицу порядка n

.

3.3. Найти обратную матрицу порядка n

.

3.4. Найти обратную матрицу порядка n

.

3.5. Найти обратную матрицу

.

3.6. Найти обратную матрицу порядка (n+1)

.

3.7. Найти обратную матрицу порядка n

.

3.8. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :

а) переставить i-ую и j-ую строки?

б) i-ую строку умножить на число с, не равное нулю?

в) к i-ой строке прибавить j-ую, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?

3.9. Найти матрицу , обратную для матрицы , где и – единичные матрицы соответственно порядков k и l, U – произвольная матрица порядка , а все остальные элементы равны нулю.

3.10. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ,

где с – число, а А и В – матрицы.

3.12. Доказать, что если А и В – симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица является симметрической.

3.12. Показать, что для любой матрицы В матрица является симметрической.

3.13. Квадратная матрица порядка n называется ортогональной, если , где Е – единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:

а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т.е.

,

где – символ Кронекера, обозначающий 1 при i=j и 0 при ;

б) строки А образуют ортонормированную систему, т.е.

.

3.14. Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

3.15. Доказать, что если ранг матрицы А равен r, то минор d, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.

Глава 4. Решение системы линейных уравнений

4.1. Система линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида

(4.1.1)

где - неизвестные, подлежащие определению;

- числа, называемые коэффициентами при неизвестных;

- числа, называемые свободными членами.

Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.

Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.

Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу

,

полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.

4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(4.2.1)

Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1).

Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и - одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:

(4.2.2)

Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n-ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству:

(4.2.3)

Коэффициент при равен определителю |A| системы (4.2.1), коэффициент при равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем, полученным из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

Обозначим данный определитель через

Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда

(4.2.4)

Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением.

Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

.

При , при , .

Таким образом, получим

.

Теорема доказана.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель :

,

,

,

откуда

Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения

АХ=В

(4.2.5)

где .

Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид

(4.2.6)

Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Вычислим для матрицы

ее обратную матрицу

.

Определим неизвестную матрицу-столбец Х:

,

откуда

Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:

.

Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:

.