5.6. Евклидово пространство
n
-мерное векторное пространство Еn
называется евклидовым, если каждой паре
векторов
и
из Е
поставлено в соответствие вещественное
число (
,
),
называемое скалярным произведением,
при чем это соответствие удовлетворяет
следующим аксиомам:
I. Линейности по первому аргументу
;
II. Симметрии
;
III. Положительной определенности
,
при
и
тогда и только тогда, когда
.
Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу
Примеры.
1.
Векторами пространства En
является любая упорядоченная система
n
действительных чисел
.
Сложение векторов и умножение их на
число определены в п.5.1, а скалярное
произведение векторов
и
определим формулой
.
Легко убедиться в том, что аксиомы I-III действительно выполняются.
2.
Рассмотрим более общий случай. Вектор
по-прежнему определим как упорядоченную
совокупность n
действительных чисел. Сложение векторов
и умножение их на число определим так
же, как в примере 1.
Зададимся
некоторой квадратной матрицей А=(aij)n,n,
Скалярное произведение векторов
и
определим формулой
|
|
(5.6.1) |
Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам I-Ш.
Непосредственной
проверкой можно убедиться в том, что
аксиома I выполняется для любой матрицы
А=(aij)n,n.
Для того, чтобы была выполнена аксиома
II, т.е. чтобы выражение
было симметричным относительно
и
,
необходимо и достаточно, чтобы
,
т.е. чтобы матрица А=(aij)n,n,
была симметричной.
Аксиома III требует, чтобы выражение
|
|
(5.6.2) |
было
неотрицательно для любых
и обращалось в нуль лишь если
.
Однородный
многочлен (квадратичная форма),
определяемый формулой (5.6.2), называется
положительно определенным, если он
принимает неотрицательные значения и
обращается в нуль, только тогда, когда
все
равны нулю. Следовательно, аксиома III
требует, чтобы квадратичная форма
(5.6.2) была положительно определенной.
Таким образом, всякая матрица А=(aij)n,n
задает скалярное произведение в Еn,
определяемое формулой (5.6.1), если только
эта матрица симметричная и соответствующая
ей квадратичная форма положительно
определенная.
Если
а качестве матрицы А=(aij)n,n
взять единичную матрицу Е,
т.е. положить aii=1,
а aij=0
(
),
то скалярное произведение принимает
вид
и мы получаем евклидово пространство, определенное в примере 1.
3. Векторами пространства Еn будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а,b). Скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения
.
Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы I-III выполнены.
С помощью введенного понятия скалярного произведения определим длину вектора и угол между векторами.
Определение.
Нормой (длиной)
вектора
в Еn
называется корень квадратный из этого
скалярного произведения:
.
Векторы
и
,
скалярное произведение
которых равно нулю, называются
ортогональными.
В
любом евклидовом пространстве Еn
верна "теорема Пифагора": если
и
ортогональны, то
.
Определение.
Угол между ненулевыми векторами
и
определяется равенством
.
Можно доказать, что в любом пространстве Еn справедливо неравенство Коши-Буняковского:
,
откуда следует, что
или, что то же самое,
Это
означает, что косинус угла между векторами
из Еn
по модулю, не превосходит единицы. Если
и
- ненулевые векторы из Еn,
то ортогональность означает, что угол
между ними равен
.
Ненулевой вектор
пространства Еn,
называется нормированным если его норма
равна единице. Любой ненулевой вектор
можно умножить на некоторое число так,
что в результате получится нормированный
вектор. Действительно, пусть
- ненулевой вектор. Тогда
и достаточно взять
таким, чтобы
Число
называется нормирующим множителем для
вектора
.
Определение.
Система векторов
пространства Еn
называется ортогональной, если векторы
этой системы попарно ортогональны.
Система
векторов
называется ортонормированной, если
векторы этой системы попарно ортогональны
и имеют норму, равную единице, т.е. если
.
Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов пространства Еn линейно независима.
Доказательство.
Пусть ненулевые векторы
попарно
ортогональны. Тогда
.
Покажем, что векторное равенство
|
|
(5.6.3) |
выполняется
тогда и только тогда, когда
.
Умножим обе части равенства (5.6.3) скалярно
на
.
Получим
из условия ортогональности векторов имеем
,
,
.
Следовательно,
.
Аналогично, умножая (5.6.3) на
,
получим что
и т.д. Таким образом, мы доказали, что
линейно
независимы.
Рассмотрим
процесс ортогонализации векторов. Он
состоит в том, что из заданных линейно
независимых векторов
строятся m
попарно ортогональных векторов
.
Положим
.
Вектор
будем искать в виде
.
Число
следует подобрать так, чтобы векторы
и
были ортогональны, т.е.
,
откуда
.
Допустим
теперь, что попарно ортогональные и
отличные от нуля векторы
уже построены. Вектор
ищем в виде:
,
т.е.
вектор
мы получаем из вектора
"исправлением" его с помощью
линейной комбинации уже построенных
векторов
.
Коэффициенты
находим из условия ортогональности
вектора
к векторам
:
|
|
(5.6.4) |
Так
как векторы
попарно ортогональны, то из равенств
(5.6.4) получаем
,
,
……………………………
,
откуда
.
Докажем
теперь, что построенный вектор
отличен от нуля. Вектор
есть линейная комбинация векторов
.
Но вектор
можно заменить линейной комбинацией
вектора
и векторов
и т.д. Окончательно мы получаем, что
вектор
записывается в виде
|
|
(5.6.5) |
откуда
следует, что
.
Действительно, в противном случае левая
часть равенства (5.6.5) была бы равна
,
что противоречит линейной независимости
векторов
(коэффициент при
равен единице). Таким образом, доказано,
что
.
По векторам
и
построен вектор
.
Таким же образом, по векторам
,
можно построить вектор
.
Продолжая этот процесс, можно по заданной
системе n
линейно независимых векторов в Еn
построить систему n
ненулевых ортогональных векторов.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Во всяком евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.
Доказательство.
По определению n-мерного
векторного пространства в нем существует
некоторый базис
.
С помощью процесса ортогонализации из
него можно построить ортогональный
базис
.
Если теперь каждый вектор
разделить на его норму, то получится
ортонормированный базис, образованный
векторами
.
Найдем
выражение скалярного произведения в
координатах. Пусть
произвольный базис пространства Еn
и
,
.
Тогда
.
Если
- нормированный базис, то
,
а, значит
.
И обратно, если в базисе
скалярное произведение векторов
и
равно
,
то этот базис ортонормированный, так
как в этом случае
и
.
Если в некотором базисе скалярное
произведение
,
то этот базис ортонормированный.
Пусть
- ортонормированный базис в Еn
и
.
Умножив обе части последнего равенства
скалярно на
получим
,
т.е. i-я
координата вектора
в ортонормированном базисе равна
скалярному произведению
на единичный вектор
.
Это скалярное произведение называется
ортогональной проекцией вектора
на вектор
.
Таким образом, координаты вектора в
ортонормированном базисе – это его
проекции на базисные векторы.
Определим
в пространстве Еn
расстояние между векторами. Расстояние
между векторами
и
определяется как норма вектора
:
.
Из определения расстояния следует, что
1)
;
2)
;
3)
;
4)
для любых
из
.
Пример.
По заданной в
системе линейно независимых векторов
построить ортонормированный базис.
Решение.
Полагаем
.
Вектор
будем находить в виде:
,
где коэффициент
.
Тогда
.
Находим
вектор
.
.
Находим
нормы векторов
.
Нормируем
векторы
.
Получим ортонормированный базис:
