8.5. Кольца: определение, свойства, примеры

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:

1. относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;

2. относительно операции умножения К — полугруппа;

3. операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, cK, называется кольцом (К,+,•).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b, то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, bL выполняется а+bL и abL.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством SK, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

Примеры.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а₀, а₁, а₂, ..., а_n, из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов— это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K[x₁,...,х_m] от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х_т над кольцом K[x₁, ..., х_m-1].

4. Пусть X — произвольное множество, К—произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: ХК, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и • — операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец — это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a^maⁿ=a^m+n, (а^т)^п=а^тп для всех m, n и всех a.

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1. для всех a a0=0a=0;

2. .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3. - a=(-1)a.

Действительно:

1)

2) 0=a(аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

8.6. Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а=0, либо b=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, =.

Если в кольце К ab=0 при а0, b, то а называется левым, а b — правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

Пример.

1. В кольце функции f: RR на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f₁(x)=|x|+x; f₂(x) =|x|-x. Для них f₁(x)=0 при x и f₂(x)=0 при x, а поэтому произведение f₁(x) f₂(x) — нулевая функция, хотя f₁(x) и f₂(x). Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a₁, b₁)+(a₂, b₂)=(a₁+a₂, b₁+b₂);

(a₁, b₁)(a₂, b₂)= (a₁a₂, b₁b₂).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а=с. Действительно, ab-ac=0a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К — кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а^-1, для которого aa^-1=a^-1a=1.

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab=0, то a^-1(ab) =0(a^-1a)b=01b=0b=0 (аналогично ba=0).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то (аb)^-1=b^-1a^-1.

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим,, т. е. относительно операции умножения множество K\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 10, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb^-1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b0. Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

=

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bcbd(x+y)=da+bct= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

Пример.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.