4. Смо типа m/m/m
Входной поток требований подчинен закону Пуассона. Время обслуживания подчинено показательному закону.
– интенсивность
входного потока требований
– интенсивность
обслуживания требований (среднее число
обслуживаний в единицу времени)
– среднее
время обслуживания каждого времени
– параметр
обслуживания
– число
требований
– число
обслуживающих устройств
Когда
число требований в системе меньше числа
обслуживающих устройств (
),
то все требования одновременно
обслуживаются, но не все устройства
заняты, и общая норма обслуживания равна
.
Когда
число требований в системе больше числа
обслуживающих устройств (
),
то не все требования одновременно
обслуживаются, все устройства заняты,
и общая норма обслуживания равна
.
– вероятность
того, что в системе в момент времени
имеется
требований, включая те, которые находятся
в состоянии обслуживания.
Тогда
– вероятность того, что в системе в
момент времени
тоже имеется
требований.
– вероятность
того, что за время
произошло одно событие, так как
– вероятность
того, что за время
закончило работу одно из
занятых устройств.
В силу ординарности входного потока и потока обслуживания получаем:
– вероятность
того, что за время
прибытий не произошло;
– вероятность
того, что за время
окончаний обслуживания не было.
Рассмотрим
возможные случаи появления события
.
-
В момент
в системе
требований, а за время
нет новых прибытий и окончаний
обслуживания.
Тогда
при
получаем
а
при
получаем
-
В момент времени
в системе
требований, а за время
нет новых прибытий, и окончилось одно
обслуживание.
Тогда
при
получаем
а
при
получаем
-
В момент времени
в системе
требований, а за время
произошло одно прибытие, но окончаний
обслуживания не было.
Тогда
при
получаем
а
при
получаем
Вероятность
равна сумме вероятностей рассмотренных
выше случаев.
Для
случая
Для
случая
Эти
формулы справедливы для
.
Для
случая
имеем:
В
момент времени
0 требований, а за время
нет новых прибытий
В
момент времени
1 требование, за время
нет новых прибытий, и завершилось 1
обслуживание
Таким образом, получено, что СМО типа M/M/m в установившемся режиме описывается системой уравнений:
(3)
Методом математической индукции можно доказать:
для
:
,
для
:
,
где
Доказательство:
Для
и
доказано, что
и
Предположим:
для
:
;
для
:
;
Тогда
для
Для
,
что и требовалось доказать.
Алгебраические уравнения (3) позволяют представить систему M/M/m в виде следующего графа:
Тогда
– вероятность того, что в системе нет
требований, можно вычислить как следующим
образом:
где
,
но
так
как
Вычислим среднее число требований в очереди:
,
где
Обозначим
через
.
Но
– производная
.
Тогда
и
Вычислим среднее число требований в обслуживающем устройстве:
(В
G/G/m
)
Таким образом, для системы M/M/m получено:
6. Многоканальная смо с ограниченным ожиданием m/m/m/k
Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой.
S0 – все каналы свободны
S1 – занят один канал, остальные свободны
---
Sm+1 – заняты все m каналов, одна заявка в очереди
---
Sm+k – заняты все m каналов, k заявок в очереди
Выражения для предельных вероятностей состояний будут выглядеть:
Найдем некоторые характеристики обслуживания:
Pотк=pm+k q=1-Pотк A=
q
Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени; вся СМО за это время обслуживает A заявок.
Среднее число занятых каналов:
V=
A/
=
q
Среднее число заявок в очереди:
