10.Уравнение Поллячика–Хинчина для преобразования Лапласа в системе m/g/1

Учитывая , первое уравнение Поллячика-Хинчина можно записать в виде:

Введя замену переменной , имеем

Это второе уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований даёт выражение преобразования Лапласа распределения времени пребывания требования в системе.

Так как и учитывая

11. Формула Поллячика - Хинчина для среднего значения в системе m/g/1

Учитывая , первое уравнение Поллячика-Хинчина можно записать в виде:

Введя замену переменной , имеем

Это второе уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований даёт выражение преобразования Лапласа распределения времени пребывания требования в системе.

Так как и учитывая, что – время обслуживания требования не зависит от – времени ожидания этого требования в очереди и, что при сложении двух независимых случайных величин перемножаются преобразования Лапласа соответствующих функций распределения, получаем третье уравнение Поллячика–Хинчина для преобразования Лапласа распределения времени ожидания требования в очереди, то есть

Различные производные производящей функции, вычисленные в точке z=1, дают возможность вычислить соответствующие моменты рассматриваемой случайной величины:

Точно также для непрерывных случайных величин можно найти моменты, вычисляя в точке соответствующие производные преобразования Лапласа рассматриваемой случайной величины:

Используем теперь равенство для получения моментов случайной величены

Полагая теперь , то есть , имеем

Мы получили хорошо обоснованное заключение о том, что ожидаемое число поступающих требований за время одного обслуживания равно , что согласуется с полученными ранее результатом для G/G/1.

Уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований позволяет найти моменты распределения числа требований в системе:

Дисперсия случайной величины x или второй центральный момент

здесь:

– второй начальный момент;

– квадрат первого начального момента;

Если обозначить:

– нормированная дисперсия;

– стандарт;

– коэффициент вариации;

То учитывая:

Это и есть результат, к которому мы стремились. Это выражение представляет собой среднее число преобразований в системе M/G/1, которое обычно называют формулой Поллячика - Хинчина для среднего значения.

12. Теорема Бёрка (Burke)

Рассмотрим простейшую последовательную систему с двумя узлами, каждый из которых представляет СМО типа М/ М/1.

Фрагмент временной диаграммы для этой сети выглядит так, как это показано на рисунке слева.

Пусть - плотность распределения вероятностей промежутков времени между последовательными требова-ниями на выходе, а - преобразование Лапласа . Когда требование покидает узел 1, возможно одно из двух событий:

(a) в очереди имеется хотя бы одно требование (узел 1 не пуст)

(b) в очереди нет требований (узел 1 пуст)

В первом случае - промежуток времени, через которое следующее требование покинет систему 1, распределен так же, как и время обслуживания:

Во втором случае - промежуток времени, по истечении которого, следующее требование покинет систему, является суммой - времени до поступления следующего требования и - времени обслуживания следующего требования.

Так как эти два промежутка времени распределены независимо, то плотность распределения вероятностей их суммы равна свертке плотностей распределения суммируемых величин. Соответственно преобразование Лапласа плотности распределения: .

Так как промежуток времени между последовательными входящими требованиями является показательно распределенной случайной величиной, то

Кроме того, учитывая, что вероятность того, что требование покинет систему пустой, равна вероятности того, что поступающее требование застанет систему пустой и равна . Можно записать следующее безусловное преобразование Лапласа для плотности распределения промежутков времени между уходящими требованиями:

Учитывая, что время обслуживания – показательно распределенная случайная величина, то можно записать и, окончательно, имеем: и, следовательно, распределение промежутков времени между уходящими требованиями, так же как и промежутки времени между поступающими требованиями, распределены по показательному закону с одним и тем же параметром.

Этот результат, в 1956 году установленный Бёрк, справедлив и для СМО типа M/M/m.