15. Смо типа m/m/1

Введем следующие обозначения:

– средняя норма прибытия, интенсивность входного потока

– средняя норма обслуживания, интенсивность потока обслуживания

– вероятность того, что в системе в момент времени находится ровно требований

Вычислим – вероятность того, что в системе момент времени находится ровно требований.

Для этого определим вероятность того, что за время произошло одно прибытие (одно обслуживание).

Так как простейший поток обладает свойством ординарности (за интервал времени не может произойти более одного прибытия), то справедливо:

– вероятность того, что за время не произошло прибытий

– вероятность того, что за время не было окончаний обслуживания

Рассмотрим случаи реализации события с вероятностью :

а) В момент времени в системе находилось требований, а за время нет новых прибытий и окончаний обслуживания:

б) В момент времени в системе находилось требований, а за время нет новых прибытий, и произошло обслуживание:

в) В момент времени в системе находилось требований, а за время произошло одно прибытие, и нет окончаний обслуживания:

Вероятность равна сумме вероятностей рассмотренных случаев:

(1)

Эта формула справедлива для , а для имеем:

а) В момент времени нет требований, а за время нет новых прибытий:

б) В момент времени в системе 1 требование, а за время нет новых прибытий и окончаний обслуживания:

(2)

Уравнения (1) и (2) называют дифференциальными уравнениями Колмогорова для СМО типа .

Для установившегося режима вероятность пребывания в системе требований не зависит от времени, и поэтому справедлива система алгебраических уравнений:

Методом математической индукции докажем, что , где – параметр обслуживания.

Доказательство:

Для и это справедливо, так как и . Предположим, что справедливо и , тогда

Вычислим – вероятность того, что в системе нет требований. Пусть , тогда

Тогда .

Представим СМО типа M/M/1 в виде графа, у которого вершины обозначают состояния системы, характеризующиеся числом требований, а ребра будут обозначать интенсивность перехода из одного состояния в другое.

Вычислим среднее число требований N, находящихся в системе:

Так как всегда имеет место

- среднее число требований в обсл. пр.

16. Одноканальная смо с отказами (m/m/1/0)

На вход поступает пуассоновский поток с интенсивностью . Заявка, заставшая канал занятым получает отказ и покидает систему. Обслуживание подчинено показательному закону с параметром . Единственный канал может находиться в одном из двух состояний: S₀ – канал свободен, S₁ – канал занят.

Пользуясь общим решением для схемы «гибели и размножения» получим:

Очевидно, требование получит отказ, когда канал занят (доля необслуженных заявок).

Доля обслуженных заявок – относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Время обслуживания равно , если требование будет обслужено и равно 0, если нет.

Пример. Система обработки информации представима в виде M/M/1/0.

Интенсивность потока требований =9 ^тр/_час. Средняя продолжительность обработки t_обр=5 мин. Определить T, W, X, N, Q, V, q, A, P_отк.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если обработка информации длилась без перерыва.

Решение: Номинальная пропускная способность системы:

Относительная пропускная способность:

Таким образом, 57% заявок будет обслужено в установившемся режиме.

Вероятность отказа P_отк=1-q=0,429.

Значит около 49% требований получит отказ.

Абсолютная (фактическая) пропускная способность обслуживающего прибора (канала):

,

что почти вдвое меньше, чем номинальная пропускная способность, это объясняется случайным характером потока заявок и потока обслуживания.