13. Разложение времени сетевой задержки по каналам сети

_jk – Трафик (traffic), поступающий в сеть из внешних источников для тех сообщений, которые возникают в узле j и предназначены для узла k.

Полный внешний трафик, поступающий в сеть, определим как:

, где N – число узлов.

Обозначим T – средняя задержка сообщения, Z_jk – задержка сообщения, которое возникло в j и предназначено для узла k.

Ясно, что эти две средние величины связаны равенством:

,

так как доля (_jk/) полного входящего трафика сообщений имеет в среднем задержку равную Z_jk.

Отметим, что последнее равенство представляет разложение сети по парам источник-адресат.

Обозначим через _jk путь, по которому идут сообщения, возникающие в узле j и имеющие в качестве узла назначения узел k. Говорят, что i-ый канал (с пропускной способностью C_i) включен в путь _jk, если сообщения, идущие по этому пути, проходят указанный канал (C_i_jk).

Тогда среднее число сообщений в единицу времени, проходящих по i-му каналу связи равно:

Кроме того, заметим что Z_jk – сумма (T_i) средних задержек, испытываемых сообщением при передаче по различным каналам пути _jk.

Следовательно:

Изменим теперь порядок суммирования (условие на i сменим на пару jk).

Теперь средняя задержка представляет разложение по отдельным каналам.

Используя известный результат исследований Джексона:

Канал сети можно рассматривать как такой же канал, действующий независимо от сети, но с пуассоновским входным потоком, интенсивность которого равно интенсивности, задаваемой сетью.

и

1/ - средняя длина сообщения,

1/С_i – среднее время передачи сообщения по каналу С_i.

Можно провести расчет для случая непоказательных длин сообщений. Но при этом будет проявлена слишком большая смелость, так как для систем M/G/1 результат Джексона неприменим.

Однако это приближение приводит к модели, которая очень хорошо согласуется с моделированием на ЭВМ.

14. Задача выбора пропускных способностей каналов

Предположим, что заданы потоки и топология сети.

Необходимо минимизировать время пребывания требования в сети, удовлетворяющее ограничению:

Для решения задачи будем варьировать пропускными способностями каналов , - стоимость пропускной способности для i-ого канала.

-среднее число бит в секунду, которые проходят по i-ому каналу, и, следовательно, любое реализуемое решение задачи должно быть таким, чтобы i-тый канал имел пропускную способность, не меньше указанной величины, т.е..

Для минимизации Т - времени пребывания требования в сети составим функцию Лагранжа:

Как обычно, используя метод Лагранжа, получаем следующую систему из М уравнений

Решая относительно , получим:

Определим , составив ограничение путем перемножения на и суммировав по i:

Следовательно:

где - добавочная стоимость.

При таком наборе пропускных способностей каждый канал будет иметь, по крайней мере, пропускную способность и, кроме того, некоторую дополнительную пропускную способность.

Минимальная средняя задержка сети, пропускные способности в которой выбраны оптимально, может быть записана в виде:

Вернемся к рассмотренному ранее примеру.

если , что имеет место при рассмотрении каналов связи геостационарных спутников. В этом случае: тогда: . Если потребовать, что , то необходимо выбрать:

Тогда:

Для рассмотренного ранее примера имели значения: