2.1.2. Операции над матрицами

Линейными операциями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, а также умножение матрицы на число.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число  называется матрица , получающаяся умножением на  каждого элемента матрицы А ().

Пример. Умножим данную матрицу на –7.

Следствие. Общий множитель всех элементов в матрице можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Операции сложения и вычитания могут осуществляться только для матриц одинаковых размеров.

Это важно!

Сложение и вычитание матриц

Суммой (разностью) двух матриц называется такая матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов данных матриц ().

Пример. Найдем 5А – 4В, если

.

В соответствии с правилами умножения и вычитания матриц, получим:

Умножение матриц

Необходимое условие умножения матриц.	Произведение матриц определяется для квадратных матриц одного и того же порядка или для прямоугольных матриц, при условии, что число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.
Алгоритм вычисления произведения матриц необходимо запомнить, так как эта операция будет играть основную роль при решении систем линейных уравнений.	Произведением двух матриц А(m, n) и B(n, s) называется матрица С(m, s) = А  В, для которой элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В .

Пример. Найдем АВ, если:

1. , 2) ; .

Решение. Применяя правило вычисления произведения матриц, произведем умножение элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В. Результат запишем в первую строку и первый столбец новой матрицы. Затем произведем умножение элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В. Результат запишем в первую строку и второй столбец новой матрицы. Повторим данную схему с элементами второй строки матрицы А, В итоге получим:

1. 

Аналогичный порядок действий произведем во втором случае. Разница будет состоять лишь в количестве строк первой матрицы и столбцов во второй:

2. 

Транспонирование матриц

Матрица А^Т, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно матрицы А.

Дважды транспонированная матрица равна исходной.

Пример. Выполним действия: , если ; .

Решение. При транспонировании матрицы получаем матрицу . Выполнив умножение матриц, получим:

=.

2.1.3. Матричная запись систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений

содержит коэффициенты вида а_ij, свободные члены b_i, однозначно определяемые матрицей

,

которая называется расширенной матрицей системы, и переменные х_j: Таблица, расположенная левее вертикальной черты, называется матрицей системы и обозначается А, матрица, расположенная правее вертикальной черты, называется вектор-столбцом свободных членов и обозначается В.

Введем вектор-столбец неизвестных:

; В = ; Х = .

Таким образом, вместо системы линейных уравнений можно рассматривать одно матричное уравнение: АХ = В.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если среди свободных членов есть отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю то система называется однородной и ее матричная запись имеет вид:

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченная совокупность чисел, подстановка которых вместо переменных обращает каждое уравнение системы в верное равенство: .

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая решений – несовместной. Обратите внимание, что однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение:

Определение. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если АА^-1 = А^-1А = Е, где Е – единичная матрица.