Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на число .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на соответствующие числа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример. Найдем значение определителя пятого порядка:

Решение. Вычисляя определитель пятого порядка, найдем в нем хотя бы один элемент, равный единице. Остальные элементы строки (или столбца) приравняем к нулю следующим образом: умножая выделенную строку (или столбец) на элемент соответствующей строки (или столбца), вычтем его из данной строки (столбца). Останется только разложить определитель по строке (столбцу), содержащему единственный ненулевой элемент, равный единице. К определителям низших порядков можно применить те же преобразования.

На первом шаге в качестве строки разложения была выбрана вторая строка, где третий элемент равен 1. Умножая третий столбец на 2, вычитаем его из первого столбца; затем прибавим элементы третьего столбца к соответствующим элементам четвертого; умножая третий столбец на 2, вычитаем его из пятого столбца. В полученном определителе все элементы второй строки, кроме третьего, равны нулю. Разложив определитель по второй строке, замечаем, что в определителе четвертого порядка наиболее простое разложение можно произвести по четвертому столбцу.

2.1.5. Решение систем линейных уравнений различными методами

Приведенный ниже способ решения систем линейных уравнений универсален, однако наиболее широко он используется при решении систем трех линейных уравнений.

Рассмотрим стандартную систему трех линейных уравнений:

(1)

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Определение. Решением системы трех линейных уравнений называется всякая тройка чисел , удовлетворяющая этой системе.

Введем определитель системы и дополнительные определители ; ; ; .

Произведем последовательное умножение уравнений системы на алгебраические дополнения первого столбца определителя системы и сложим их левые и правые части:

,

причем, согласно свойству определителя, имеем:

.

Т.е. , следовательно, (2)

Аналогичным образом выводятся формулы: (3)

Формулы (2) и (3) называются формулами Крамера.

Запомните! Это важно!

Очевидно, что если определитель системы , то система имеет единственное решение. Таким образом, получим правило Крамера: неизвестные стандартной линейной системы с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям Замечание. Если определитель системы равен нулю, то возможны два случая: 1) система несовместна (дополнительные определители отличны от нуля); 2) система не определена (если все ее определители нулевые).

Пример. Решим систему уравнений методом Крамера:

1) 2) 3)

Напомним правило:

Решение. Следуя алгоритму решения систем уравнений, найдем определитель и дополнительные определители системы, используя первое мнемическое правило вычисления определителей третьего порядка::

1)

Согласно формулам Крамера, имеем:

2. Приведем решение в более компактном виде:

Т.к. то система несовместна, т.е. не имеет решений.

3. 

Т.к. то система не определена, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Ответ. 1) 2) решений нет, 3) решений бесконечно много.