Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.

Напомним, что матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ = В, где А – матрица системы, Х – вектор-столбец переменных, В – вектор-столбец свободных членов.

Согласно определению обратной матрицы, .

Умножив обе части уравнения на обратную матрицу, получим:

или .

Учитывая, что , окончательно получим: , т.е. для решения системы линейных уравнений достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. составить обратную матрицу к матрице системы;

2. выполнить умножение полученной матрицы и вектор-столбца свободных членов;

3. полученный вектор-столбец образован значениями переменных и является решением системы.

Пример. Решим систему уравнений, используя обратную матрицу:

Решение. Произведем вычисления согласно приведенному выше алгоритму:

Таким образом, обратная матрица системы имеет вид:

Замечание. Обратную матрицу можно отыскать и другим образом:

, где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы системы.

Тогда

Затем умножим полученную матрицу на вектор-столбец свободных членов:

Таким образом, получим:

Ответ.

2. Задания для самоподготовки

Задание 1.

Определите тип следующих матриц:

1); 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Ответ. 1) квадратная матрица второго порядка, 2) ступенчатая матрица, 3) вектор-строка, 4) нулевой вектор-столбец, 5) нижняя треугольная матрица, 6) диагональная матрица четвертого порядка.

Задание 2.

Выполните следующие действия:

1) ; 2) , если

; ; .

(Подсказка. Порядок действий соответствует арифметическим правилам старшинства операций. В первом задании произведите вычитание матриц, а затем умножьте результат на 6. Во втором задании каждую из данных матриц умножьте на соответствующее число, а затем произведите действия вычитания и сложения по порядку.)

Ответ. 1) ; 2) .

Задание 3.

Выполните следующие действия:

1) ; 2) , если .

Ответ. 1) ; 2) .

Задание 4.

Убедитесь, что АВ  ВА, если .

(Подсказка. Найдите значения левой и правой частей, воспользовавшись правилом вычисления произведения матриц.)

Отает. .

Задание 5.

Вычислите А² – 3А + 5Е, если

(Подсказка. Выполните действия по порядку старшинства операций. Учтите, что .

Ответ.

Задание 6.

Выполните действия: и , если это возможно, если

.

Ответ. Первое задание выполнить невозможно, так как число столбцов первой матрицы А не совпадает с количеством строк второй матрицы В^Т. Во втором случае, после транспонирования матрицы В, получим:

Задание 7.

Найдите многочлен если ,

где .

(Подсказка. При подстановке вместо х матрицы А последнее слагаемое 2 рассматривается как 2Е, где Е – единичная матрица соответствующего порядка, т. е. .)

Ответ..

Задание 8.

Составьте обратную матрицу для данной:

1. ; 2) .

Ответ. 1) 2) .

Задание 9.

Вычислите значения определителей следующих матриц:

Ответ.

Задание 10.

Найдите значения следующих определителей:

1. ; 2) .

(Подсказка. Разложите определители по четвертому столбцу.)

Ответ. 1) 56, 2) 116.

Задание 11.

Решите систему уравнений методом Крамера:

1) 2)

3)

Ответ. 1) 2) решений нет, 3) решений бесконечно много.

Задание 12.

Решите систему уравнений при помощи обратной матрицы:

Ответ.