3.1.1. Окружность

рис. 21.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. Уравнение окружности имеет вид: где а и b – координаты центра окружности, а r – радиус окружности (см. рис. 21). Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид: .

3.1.2. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же по­стоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса:

где а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

рис. 22.

На рис. 22 указаны фокусы и , большая полуось и малая полуось . Если 2с — расстояние между фокусами, то между a, b и с (если а > b ) существует соотношение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси:

У эллипса эксцентриситет е < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Пример.

Выполним следующие задания:

1. Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным 6.

2. Покажем, что есть уравнение окружности. Найдем ее центр и радиус.

Решение.

1. По уравнению окружности, полагая в нем , сразу имеем

Или, после раскрытия скобок и упрощения,

2. Заданное уравнение преобразуем к стандартному виду, Выпишем члены, содержащие только х, и члены, содержащие только у. Легко проверить (сделайте это!), что

Левая часть уравнения запишется в измененном виде и само уравнение теперь выглядит так:

Или отсюда

Сравнивая полученное уравнение со стандартным, заключаем, что это уравнение определяет окружность, центр которой имеет координаты .

Ответ. 1. 2. .

Пример.

Найдем точки пересечения окружности и прямой .

Решение. Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему урав­нений

Решая систему методом подстановки (подставляя в первое уравнение 2х вместо у и раскрывая скобки), получим уравнение , корни которого имеют вид:

и

Подставляя эти значения во второе уравнение , получим,

и

Искомыми точками пересечения будут и .

Ответ. и .

Пример. Составим простейшее уравнение эллипса, зная, что:

1) его полуоси ;

2) расстояние между фокусами , а большая ось равна 16;

3) сумма полуосей равна 12, а расстояние между фокусами .

Решение.

1) Простейшее уравнение эллипса имеет вид

Подставляя сюда получим

2) У нас .

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую по­луось b. Между величинами a, b и с у эллипса существует зави­симость

Таким образом, имеем: , и уравнение эллипса будет иметь вид:

3) . Для определения уравнения эллипса надо знать значения а и b. Нам известно, что ; .

Поэтому .

Подставляя сюда , найдем, что .

Решая систему уравнений , получим, что

Уравнение эллипса запишется в виде