Необходимое условие 

Если f’()=0 то точка называется стационарной точкой f(x).

Станционарными точками функции соответствуют те точки графика функции, в которых касательная  оси Ox

Теорема 3

(Необходимое условие экстремума)

f(x) имеет в т. экстремума и дифференцируемых в т.  т. - стационарная точка функции f(x).

т.к. f(x) имеет в т. экстремум то  интервал в котором число f() является наибольшим или наименьшим в этом интервале следовательно по теореме Ферма f’()=0

Условимся называть критической точкой функции f(x) всякую ее стационарную точку или точку, в которой функция непрерывна, но не имеет конечной производной (т.е. имеет бесконечную производную или вообще не имеет). Критическим точкам соответствуют те точки графика функции, в которых касательная горизонтальная, вертикальная или не существует.

Достаточное условие  экстремума.

Пусть есть критическая точка функции f() и в некоторой окрестности этой точки (кроме быть может самой т.) функция f(x) имеет производную f’(x) тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4 (1 достаточный признак экстремума)

Если в некоторой окрестности X критической точкой выполняется условие при и при (A) то в т. функция имеет max. Если же выполняется условие при и при (B) то в т. функция имеет min.

Пусть, например, в окрестности X т. выполняется условие (А), тогда в этой окрестности  отр. x₁ x₀ x₂ в которых функция непрерывна, а внутри ее производная сохраняет соответственно положительный и отрицательный знаки, следовательно функция f(x)  на отрезке [x₁;x₀] и  на [x₀;x₂] поэтому значение оказывается наибольшим на [x₁;x₂] т.е. в т. функция f(x) имеет max. Аналогично рассматривается min.

Примечание:

Если f’(X) при переходе через т. X0 сохраняет постоянный знак, то в некоторой окрестности т. X0 функция или возрастает или убывает и поэтому в т. X0

ЛЕКЦИЯ №

Теорема 5 ( 2-ой достаточный признак экстремума) :

Если функция  (x₀ ) = 0 , т.е. x₀ - стационарная точка функции (x) и (x₀)<0, то в точке x₀ функция (x) имеет max; если же (x₀)>0 , то в точке x₀ функция (x) имеет min.

Запишем, для функции (x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что  (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

+ -

Понятие выпуклости графика функции на промежутке.

Пусть функция (x) дифференцируема на промежутке , это значит, что существует касательная к графику функции в любой т. М и эта касательная не параллельна оси ординат, т.к. её угловой коэффициент (x) конечен.

Определение

Говорят, что график функции выпуклый вверх (resp. вниз) на промежутке Х, если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику на промежутке Х

Выпуклый

вниз

(«вогнутый»)

Выпуклый

вверх

(«выпуклый»)

а в а в

Из определения следует, что на участке выпуклости или вогнутости касательные к графику не пересекаются с графиком и имеют с ним лишь точки касания.

Теорема 6 (Достаточное условие выпуклости)

Если функция (x) имеет на промежутке Х вторую производную и (x)  0 ( resp. x0) на , то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Рассмотрим случай (x)  0 для  x 

х

M T

Y

y

a с х в

пусть т. с – произвольная точка, принадлежащая Х. Требуется доказать график функции х лежит не ниже касательной , проходящей через т. М(с;  (с)).

Уравнение касательной Т :

=ссх-с 

Разложим функцию у=х в окрестности т. с по формуле Тейлора с n=1:

у=х= (с)+ (В)

где т. находится между с и х .

Вычитая (Ф) из (И) имеем: y-Y =

Т.к. на Х, то правая часть последнего равенства больше или равно 0, следовательно y Y для  x , что и доказывает, что график функции лежит не иниже касательной Т всюду на промежутке Х Аналогично рассматриваем случай x0. Q. e. D.

Точка М₀ (;) называется точкой перегиба графика функции у=х, если в т. график имеет касательную Т и существует такая окрестность т . в которой слева и справа от т. график имеет разные направления выпуклости т.е. при переходе через т. М₀, график переходит с одной стороны касательной Т на другую.

М₀

М₀

Такая т. М0 не является т. перегиба её называют точкой излома

Теорема 7

(Необходимое условие точки перегиба)

Пусть график функции у=х имеет перегиб в т. М₀ (;) и функция х имеет в т. неперерывную вторую производную тогда .

Док-во: Предположим обратное, , тогда в силу непрерывности существует окрестность т. , в которой >0 или же <0 , т.е. в которой сохраняет постоянный знак . Следовательно в указанной окрестности график сохраняет определённое направление выпуклости, что противоречит наличию перегиба в т. это полученное противоречие доказывает теорему.

Q. e. d.

Точки графика для которых будут называться критическими точками графика (но не функции).

Необходимо дополнительно исследовать вопрос о существовании перегиба в каждой критической точке.

Теорема 8

(Достаточное условие точки перегиба)

Пусть функция х имеет на некоторой окрестности т. , тогда, если в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от т. ,то график функции у=х имеет перегиб в т. М₀ (;)

Док-во:

Т.к. имеет разные знаки слева и справа от , то график функции у=х имеет слева и справа разный характер выпуклости, следовательно т. М₀ (;) –точка перегиба графика. Q. e. d.

Доказанная теорема остаётся верной, если х имеет в некоторой окрестности т. , кроме самой точки и существует касательная в т. М₀ (;)

Док-во аналогично док-ву теоремы 8.

Т.о. вопрос об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба решаются с помощью второй производной.