Пусть и Функция удовлетворяет условию (1) и (2), т.К. Всякое вещественное есть куб некоторого вещественного числа и разные вещественные числа имеют разные кубы. Поэтому функция имеет

, т.е.

Очевидно функция и обратная функция имеют один и тот же график. Только для обратной функции ось Оy является осью аргумента, а ось Ox – осью функций. Если поменять местами x и y, т.е. повернуть плоскость на 180 вокруг биссектрисы I и III координатных углов, то новое положение графика обратной функции будет графиком функции , которое так же называется обратной.

С учетом этого можно сказать, что график вз. Обратной функции симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Отметим, что строго монотонные функции всегда обратимы.

Теорема.

Если функция определена и строго монотонна на некотором промежутке X, то на соответствующем промежутке Y обратная функция существует и строго-монотонная (в том же смысле).

Действительно строго-монотонные функции удовлетворяют условиям (1) и (2) существуют обратные функции. Покажем, что , так же строго монотонна, причем в том же смысле, что и прямая функция .

Пусть для определенности функция возрастает на X. Рассмотрим произвольные такие, что , но тогда , т.к. в противном случае и было бы:

, т.е. , что противоречит выбору чисел , таким образом , т.е. обр. функция возрастает на Y.

Аналогично рассматривается случай убывания.

Доказанная теорема может быть сформулированная следующим образом:

Если - строго монотонна на X, то уравнение имеет единственное решение

Y y₀

x₀

X

Функция называется четной (resp нечетной) на множестве X, если:

1. X является множеством симметричным относительно начала координат на числовой оси;

2. (resp )

Ясно, что график функции симметричен относительно оси Oy, (resp – относительно начала координат). Функция, которая не является ни четной, ни не четной называется функцией общего вида.

Примечание: функцией общего вида будет любая функция, область определения которой не симметрична относительно оси координат.

Задача 1.

Если же область определения любой функции общего вида симметрична относительно начала координат, то это функция представлена и притом единственным образом в виде суммы четной и нечетной функции.

Функция называется периодической на множестве X, если :

1. точка , ;

2. 

Число T называется периодом функции . Из этого определения вытекает, что всякое число кратное периоду, также является периодом функции.6. Из этого определения вытекает, что всякое число кратное периоду, также является периодом функции. и т.д.

Итак, у бесконечной функции есть много периодов; если у нее есть самый малый положительный период, то – это основный период.

Например: у - T = 

Однако не всякая периодичная функция обладает основным периодом. Например, f(x)=c=const – периодическая, причем ее периодом является любое вещественное число, т.к. не существует наименьшего положительного вещественного числа, то эта функция не имеет основного перирда.

Задача 2.

Доказать, что функция Дирихле периодическая, причем, ее периодом является любое рациональное число, основного периода функция не имеет.

D(x)=

Последовательностью вещественных чисел называется любая функция ее значения (1) называется членами последовательности, член называется n-ым или общим членом последовательности.

Последовательность записывают в виде (1), или в виде {a_n}.

ЛЕКЦИЯ №