Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции в точке.

Определение 1 (по Гейне)

Число А называется правым (правосторонним) (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для любой последовательности значение аргумента такой, что , (resp ) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Определение 1 (по Коши)

Число А называется правым (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для: (resp )  

Доказывается, что эти определения равносильны.

Односторонние (resp правый и левый пределы функции в т. ) обозначаются resp

Теорема 6

Для того, чтобы в т. существовал конечный необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние пределы в этой точке.

Определение 2

Функция называется непрерывной в т. справа (resp слева) если (resp ).

Очевидно функция непрерывна в т. тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке как справа так и слева.

Определение

Функция называется непрерывной в некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если один из концов промежутка находится в конечной точке и эта точка промежутку, то непрерывность функции в т. следует понимать в одностороннем смысле.

Например, фразу, «функция не прерывиста на отрезке », следует понимать так, функция непрерывна в интервале , непрерывна в точке а справа и непрерывна в точке b слева.

a b x

Эта функция непрерывна на отрезке

Предел функции на бесконечности.()

Определение 3

Последовательность называется ББП (последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут это значит, что как только .

Аналогично определяется смысл записи

Определение 4 (по Гейне)

Число А называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Определение 4 (по Коши).

Число А называется если . Доказывается, что эти определения равносильны.

Если в определении функции на бесконечности по Гейне считать в частности, что (resp ), то тем самым определение по Гейне предел (resp ).

Если же в определении на бесконечности по Коши считать в частности, что неравенство выполняется при (resp ), то тем самым определяется по Коши соответственно пределы функции на и на .

и

Предел последовательности есть частный случай предела функции при действительно возьмем последовательность {} и рассмотрим функцию определенную на N, так что , тогда и определение предела функции при совпадает с определением предела последовательности .

Сделаем одно общее замечание о конечном пределе функции:

Мы изучили понятие конечного предела функции при (точка а конечна или нет, т.е. ) при этом были рассмотрены 6 возможных типов стремления аргумента х к точке а (два двусторонних и 4 односторонних), в подходе Коши каждому из этих типов отвечает свой тип окрестности А.

№	Тип стремления	Тип окрестности
1	(т. а конечна)
2	(т. а конечна)
3	(т. а конечна)
4
5
6

Условимся любой из 6 типов стремления записывать символически (* - любой из типов стремлений), а соответствующий ему тип окрестности , тогда определение конечного может быть дано сразу для всех шести случаев в форме: . В качестве примера использования этого общего подхода сформулируем теорему.

Теорема

Если при некотором стремлении, то ограничена в некоторой окрестности, соответствующая данному стремлению.

Доказательство проводится так же как в теореме 2 с очевидным изменением записи окрестности (т.е. ).

Аналогично можно построить определения конечного предела функции по Гейне при .

ЛЕКЦИЯ №