Непрерывность функции в точке.

Определение 2.

Функция называется непрерывной в точке если: (2).

Это определение предъявляет функции следующие требования:

1. функция должна быть определена в точке и некоторой ее окрестности.

2. Функция должна иметь в точке предел.

3. Этот предел должен совпадать со значением функции в точке .

Определение 2 означает, что для непрерывности в точке функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента.

Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция разрывна в т. или имеет в т. разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности кроме быть может т..

Тогда т. - называется точкой разрыва функции .

Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой .

Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.

y M

M₀

M’

0 x x

На рисунке:

тогда , т.е.

Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т. и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. .

Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна.

Если бы мы придали функции в точке значение 2, то измененная таким образом функция оказалась бы непрерывной в т. .

Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.

(общие теоремы о пределах)

Теорема 1. (единственность предела).

Если то .

Допустим противное, т.е. . Выберем , так, что бы окрестности т. , не пересекались, т.е. т.к. , то т.е. аналогично то т.е. .

Рассмотрим

Тогда,

и и , что невозможно, т.к. указанные окрестности не пересекаются.

Теорема 2 (локальная ограниченность функции, имеющий предел).

Если предел при равняется А, то найдется окрестность , во всех точках которых функция ограниченна.

Положим

Из условия теоремы следует существование окрестности: . Следовательно:

Отсюда для указанных х что и означает ограниченность в .

ЛЕКЦИЯ №

Свойства функций

(продолжение)

Теорема 3.

Если (resp A<B) то  окрестность в которой выполняется неравенство >B (resp <B)

Пусть A>B положим тогда

При выбранном левая из этих неравенств имеет вид >B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем

Следствие (сохранение функции знаки своего предела).

Полагая в теореме 3 B=0, получаем: если (resp ), то  , во всех точках, которой будет >0 (resp <0), т.е. функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то .

На языке и .

Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Следствие.

Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие (resp ), то (resp , в предположении что предел ).

(Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции)

Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А.

по условию (1)  для (здесь - наименьшая окрестность точки ).

Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .