Несобственные интегралы
При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение определенного интеграла (5) теряет смысл.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).
Определение
6.
Несобственным
интегралом с бесконечным верхним
пределом интегрирования
от непрерывной функции f(x)
на промежутке
называется
предел
.
Обозначается
.
Таким образом,
=
.
(14)
Аналогично
определяется несобственный
интеграл
с
бесконечным нижним пределом интегрирования
от непрерывной функции f(x)
на промежутке
:
=
.
(15)
Если пределы в правых частях формул (14), (15) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют или бесконечны, – то расходящимися.
Аналогично
вводится несобственный
интеграл с двумя бесконечными пределами
интегрирования
от непрерывной функции f(x)
на промежутке
:
(16)
Интеграл (16) называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Интегралы (14) – (16) называются также несобственными интегралами первого рода.
С
геометрической точки зрения сходящийся
несобственный интеграл
означает, что фигура ограниченная кривой
,
прямыми x=a,
y=0
и бесконечно вытянутая вдоль оси Ox,
имеет конечную площадь S.
Аналогичная геометрическая интерпретация
имеет место для сходящихся несобственных
интегралов (15) и (16).
Несобственный интеграл от неограниченных функций (второго рода).
Пусть
функция
неограниченна на конечном промежутке
,
причем
.
Определение
7.
Несобственным
интегралом от функции
f(x)
непрерывной на промежутке
и
имеющей
бесконечный разрыв в
точке x=b,
или несобственным
интегралом второго рода называется
предел интеграла
при
:
(17)
Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают
(18)
Если
же функция
f(x)
имеет разрыв второго рода в некоторой
точке
,
то
(19)
Если пределы в правых частях формул (17) – (19) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках a, b, и с называются сходящимися, в противном случае – то расходящимися.
С
геометрической точки зрения сходящийся
несобственный интеграл
второго рода означает, что фигура
ограниченная кривой
,
прямыми x=a,
x=b
и
бесконечно вытянутая вдоль оси Oy
при
,
имеет конечную площадь S.
Дифференциальные уравнения План
Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Я. Бернулли.
Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 2-го порядка). Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения второго порядка. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики.