Необходимый признак сходимости

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т. е.

. (4)

Замечание. Данная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если же , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Теорема 2 (первый признак сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем

для всех номеров n, начиная с некоторого номера n=k. Тогда:

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

1. Геометрический ряд – сходится при , расходится при ;

2. Гармонический ряд – расходится;

3. Обобщенный гармонический ряд – сходится при , расходится при .

Теорема 3 (предельный признак сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов

,

то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену

.

Тогда, если:

1) q<1, то данный ряд сходится;

2) q>1, то данный ряд расходится;

3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.

Замечание. Если , то ряд расходится.

Теорема 5 (радикальный признак Коши). Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда, если:

1) q<1, то данный ряд сходится;

2) q>1, то данный ряд расходится;

3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.

Замечание. Если , то ряд расходится.

Теорема 6 (интегральный признак сходимости). Пусть – ряд с положительными членами, и . Тогда, если соответствующая функция f(x) – положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке , то

ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

_, (5)

где для всех (т. е. ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются следующие условия:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.

;

2. Общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам:

_.

Замечание. Исследование знакочередующегося ряда вида

_{сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (5).}