Непрерывность функции, классификация точек разрыва
Определение
23.
Функция
y=f(x)
называется
непрерывной
в точке
,
если выполняются следующие три условия:
1)
функция y=f(x)
определена в точке
(
)
и в ее окрестности;
2)
существует
;
3)
.
Если воспользоваться определением 19 предела функции по Коши, то определение непрерывной функции можно переписать в виде:
Введем
обозначения:
и
назовем приращением
аргумента
х
в точке
,
откуда
;
и
назовем
приращением
функции
y=f(x)
в
точке
.
Очевидно, приращения
и
могут быть как положительными, так и
отрицательными.
Из определения 23 с учетом введенных обозначений получаем еще одно определение непрерывности функции в точке.
Определение
24.
Функция y=f(x)
называется
непрерывной в точке x=
если в этой точке бесконечно
малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции,
т. е.
.
Из
определения 23 и теоремы 8 следует, что
функция y=f(x)
является
непрерывной
в точке x=
,
если
Определение 25. Функция, непрерывная во всех точках множества X, называется непрерывной на этом множестве.
Сумма, произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве X функций, есть непрерывные на этом множестве функции. Частное от деления двух непрерывных на некотором множестве X функций есть функция, непрерывная во всех точках этого множества, в которых делитель отличен от нуля.
Если
y = f(u),
–
непрерывные функции своих аргументов,
то сложная функция
является непрерывной функцией независимой
переменной х.
Если
в точке x=
условия определения 23 нарушены (т.е.
функция f
не определена в
точке x=
,
или
не существует, или
),
то функция называется разрывной
в точке x=
,
а точка
–
точкой
разрыва.
Если
x=
– точка разрыва функции y=f(x),
то справедлива следующая квалификация:
1.
Точка
называется точкой
разрыва первого рода
функции y=f(x),
если в этой точке существуют
конечные односторонние пределы, но
,
или
.
Если
,
то точка
называется еще точкой
устранимого разрыва;
если
,
то точка
называется точкой
конечного разрыва.
Величина
называется
скачком функции в точке разрыва первого
рода.
2.
Точка
называется точкой
разрыва второго рода
функции y=f(x),
если в этой точке хотя
бы один из односторонних пределов не
существует или равен бесконечности.
Все
простейшие элементарные функции (
,
,
,
sin x,
cos x,
arcsin x,
arccos x,
arctg x,
arcctg x)
непрерывны в каждой точке своих областей
определения.
Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования функций. Дифференцирование сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная неявной и параметрически заданной функций.
Определение и геометрический смысл дифференциала, приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производные высших порядков явно заданной функции, неявно и параметрически заданной функций. Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
Исследование функций с помощью производных: условия возрастания и убывания функции. Понятие экстремума. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Асимптоты графика функции.
Применение производных в экономике.