Правила дифференцирования функций

Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые в точке и некоторой ее окрестности функции, а C – постоянная величина, то справедливы следующие основные правила дифференцирования:

Дифференцирование сложной, обратной функций

1. Пусть – сложная функция. Производная сложной функции находится по правилу:

(3)

Данное правило легко распространяется на сложную функцию, зависящую от нескольких аргументов.

2. Пусть у = f(x) и – взаимно обратные дифференцируемые функции и , тогда

(4)

Доказательство.

Таблица производных основных элементарных функций

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7		14

Для вычисления производных нужно знать лишь правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Производная неявной и параметрически заданной функций

1. Функция у(х) называется неявной или неявно заданной, если она задана уравнением:

F(x, y) = 0, (5)

не разрешенным относительно у.

Предположим, что функция у дифференцируема.

Для того чтобы найти производную от неявной функции, нужно обе части уравнения (5) продифференцировать по х, рассматривая у как функцию х. Затем полученное уравнение разрешить относительно производной .

Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.

2. Функция у(х) называется параметрически заданной, если зависимость между аргументом x и функцией y задана в виде двух уравнений:

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Пусть x(t) и y(t) – дифференцируемые функции для любого значения t и . Производная параметрически заданной функции находится по правилу:

(6)

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 2. Дифференциалом функции y = f(x) называется произведение производной этой функции на приращение аргумента и обозначается или , т.е.

. (7)

Дифференциал называется еще дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции :

(8)

т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны.

Формулу (7) с учетом (8) можно переписать в виде:

(9)

Другими словами, дифференциал функции y = f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из последнего равенства, имеем: . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Геометрический смысл дифференциала функции: дифферен­ци­ал функции равен приращению ординаты касательной к графи­ку данной функции, когда аргумент получает приращение .

Из определения производной, дифференциала функции y = f(x) и теоремы 4 (о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции) следует

т. е. приращение функции отличается от ее дифференциал на бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с . Следовательно, при малых значениях приращения аргумента приращение функции можно приближенно заменить ее дифференциалом

.

Таким образом, при справедлива приближенная формула

откуда получаем

(10)

Формула (10) используется для вычислений приближенных значений функций.

Правила нахождения дифференциала

Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная величина, тогда