2.4. Группы волн

При всей кажущейся хаотичности и неупорядоченности последовательности сменяющих друг друга волн в ней существует определенная закономерность. Коэффициент корреляции между высотами соседних волн колеблется от 0,6 до 0,3 [22] в зависимости от типа и интенсивности волнения; для волн, отделенных друг от друга одной волной, коэффициент корреляции составляет 0,3—0,1, а двумя волнами—0,2—0,05 [22]. Помимо статистической закономерности, выражающейся в коррелированности высот соседних волн, имеются также определенные топологические и структурные закономерности нерегулярного волнения.

В ряду нескольких волн, постепенно нарастающих по высоте, проходит особенно высокая волна, после которой следуют волны уменьшающейся высоты. Через некоторое время аналогичная картина повторяется, т. е. волны проходят группами. Группы волн—одна из характерных черт волнения, проявляющаяся в циклической смене последовательностей волн, состоящих из достаточно высокой волны, которой предшествуют и за которой следуют волны меньшей высоты (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Параметры волнового пакета.

До настоящего времени не существует общепринятого определения понятия группы волн, хотя с существованием групповой структуры приходится считаться при расчетах волновых воздействий на суда и сооружения.

Исследование групповой структуры по волнограммам (и по волновым профилям) представляет интерес прежде всего при анализе тех процессов силовых воздействий на объекты (на суда, плавучие и стационарные буровые установки), амплитуды которых нелинейно связаны с амплитудами волн. В практике судостроительных расчетов группы волн рассматриваются как последовательность подряд идущих волн, в которой наибольшая высота превышает среднюю высоту , рассчитанную по всей последовательности волн, а слева и справа от располагаются волны с меньшими высотами; наименьшие волны в такой последовательности, имеющие высоту менее , являются границей групп.

Результаты вычисления среднего числа волн в группе по записям ветровых волн показали, что независимо от интенсивности волнения (для различных волнограмм изменялось от 0,2 до 4,5 м) группа в среднем состоит из 5—6 волн. Однако число волн в конкретной группе зависит от высоты наибольшей волны в ней. Чем больше высота волн, тем больше число волн в группе. Так, если в штормовом волнении высота наибольшей волны в группе равна среднему значению всех волн в выборке, то =5, если , то =6 и т. д.

Для аппроксимации функции распределения числа волн M в группе учтем, что это число ограничено снизу и не может быть меньше 2 (если две соседние группы имеют по три волны, то одна—общая для обеих групп, может принадлежать только одной группе, а другая будет содержать две волны). Усеченное нормальное распределение с параметрами =5, и точкой усечения достаточно хорошо описывает натурные данные (рис. 2.14). Из рис. 2.14 следует, что группы с составляют около 10%, а группы с встречаются в 0,5% случаев. Однако вследствие зависимости M от в таких группах наиболее вероятны высокие волны. Обеспеченность числа волн в группе при усеченном «слева» нормальном законе, по определению, записывается в виде:

. (2.37)

где — интеграл Лапласа. Выражение (3.37) справедливо для дискретной последовательности целых т =2, 3, 4. . .

Рис. 2.14. Функция распределения числа волн в группах для штормового волнения.

1 — аппроксимация нормальным законам; 2 — натурные данные

Изучение вероятностных закономерностей, которым подчиняются сочетания волн, представляющих группы, особенно вблизи наибольшей волны в группе, представляет большой практический интерес при оценке предельных нагрузок на суда и сооружения. Помимо числа волн в группе интересно изучение высот и периодов группы, которые равны соответственно вертикальному расстоянию между вершинами наибольшей и наименьшей волны в группе и временному интервалу между прохождением группы волн. Эмпирические распределения и описываются распределением Вейбулла-Гнеденко (см. п. 1.3). Обозначая через и средние значения этих величин, функции распределения и можно записать в виде

; . (2.38)

Элементы группы волн и —линейно зависимые случайные величины [22]. В табл. 2.2 приводятся для ветровых волн средние периоды волнения Т_, и при различных средних значениях высот волнения , рассчитанных по натурным данным.

Таблица 2.2. Средние значения и при различных .

, м	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0
Т, с	3,4	4,8	6,7	8,4	9,6
, м	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0
, с	18	25	35	45	51

Средние значения высот примерно равны средним значениям высот волнения ; между средним периодом волнения Т_ и их групп имеется зависимость, близкая к линейной

. (2.39)

Наибольшие в группе высоты волн являются подмножеством последовательности всех высот волн, которые распределены по закону Рэлея, поэтому распределение Р() должно подчиняться этому же закону, усеченному на квантили, соответствующей . При решении многих прикладных задач рассматриваются не все группы, а только те, в которых в раз превышает . Тогда вероятность того, что (обеспеченность) имеет вид распределения Рэлея, усеченного на квантили

(2.40)

Периоды максимальных волн в группах являются подмножеством всех периодов, определенных из условия . Поэтому распределение периодов максимальных волн в группе должно подчиняться условному распределению периодов для различных высот. Значения параметров распределений могут быть найдены с учетом формы спектральной плотности волнения.

Результаты анализа высот и периодов волн в группе, непосредственно предшествующих волне с наибольшей высотой и следующих за , достаточно подробно изложены в работе [22]. Распределение величин допустимо считать нормальным. Отметим, что

(2.41)

(2.42)

(2.43)

Временной интервал между прохождением групп с высотами будем характеризовать статистикой . Вид закона, аппроксимирующего распределение , следует из теории выбросов случайных процессов, где показано, что для больших по сравнению со временем корреляции промежутков времени распределение экспоненциально

F(t) = exp(-/). (2.44)

Из рис. 2.15 следует, что чем слабее волнение, тем при заданном больше величина .

Рис. 2.15. Зависимость среднего временного интервала между группами от средней высоты волн и уровня :

1 — 1,43 (для обеспеченности 20%); 2 —1,95 (для обеспеченности 5%); 3—2,11 (для обеспеченности 3%); 4 — натурные данные.

Рассмотренные особенности структуры группы волн, статистической изменчивости и взаимозависимости ее элементов представляют большой практический интерес. Удобство приведенных выше характеристик заключается также в том, что, зная высоту волны трехпроцентной обеспеченности (или среднюю высоту волн) и средний период волн, можно для стационарного режима волнения определить практически все приведенные выше характеристики группы волн.