4.6.2. Энергетическая характеристика случайного процесса

Отметим, что каждая отдельная реализация (4.28) входного процесса не отражает в полной мере свойства реального процесса. Все свойства процесса будут выражены только лишь совокупностью реализаций , в которых выборки параметров и соответствуют распределениям случайных величин и . В частности, дисперсия D_x процесса не может служить характеристикой средней энергии отдельной реализации . Однако эта дисперсия является характеристикой представительной совокупности реализаций.

Введем в рассмотрение энергетическую характеристику отдельной реализации . В качестве такой характеристики можно рассматривать сумму квадратов амплитуд отдельных гармонических составляющих

. (4.29)

При определенном наборе фиксированных значений и , т.е. при заданной реализации входного процесса соответствующая нелинейная задача динамики (4.1) может быть решена путем численного интегрирования уравнений движения механической системы. При относительно слабо выраженной нестационарности системы (4.1) математические ожидания и дисперсии выходных процессов (вынужденных колебаний) пренебрежимо мало зависят от сдвигов фаз отдельных спектральных составляющих входного процесса, т.е. от факторов . Механические системы, обладающие таким свойством, будем называть квазистационарными. Результаты многочисленных экспериментальных и расчетных исследований показывают, что системы уравнений, описывающие устойчивые режимы качки судна и гидроупругих колебаний его конструкций, являются квазистационарными. При рассмотрении неустойчивых механических систем влияние факторов на характеристики выходного процесса может быть заметным. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемая система устойчива и квазистационарна.

В результате численного решения системы дифференциальных уравнений (4.1) определяется реализация выходного процесса . Для этой реализации также может быть вычислена энергетическая характеристика. Процедура вычисления зависит от свойств рассматриваемой механической системы или, точнее, от вида ее реакций на гармонические возмущения, рассмотренных выше в разделе 4.5.

Наиболее просто энергетическая характеристика вычисляется при совпадении числа гармоник и частот входного и выходного процессов. В этом случае вычисления производятся по формуле, аналогичной (4.29)

. (4.30)

Здесь - амплитуды гармонических составляющих реализации выходного процесса, соответствующие частотам .

При наличии в колебательном решении динамической системы ультрагармонических и субгармонических составляющих по отношению к частотам , которые могут быть выделены из этого решения, например, с помощью финитного преобразования Фурье, квадрат амплитуды определяется следующим образом

, (m_k, n_k = 2, 3, 4, …),

- амплитуда основной составляющей выходного процесса; - амплитуды ультрагармонических и субгармонических составляющих соответственно.

При хаотическом характере реакции системы на регулярные входные процессы необходимо вычислить дисперсию реализации и принять энергетическую характеристику равной среднему значению квадрата амплитуды, которое в соответствии с формулой (1.26) в два раза превышает значение дисперсии (в предположении нормальности процесса).

Предположим, что расчет выполнен не только при одной реализации входного процесса вида (4.28), но реализован достаточно объемный численный эксперимент с полнофакторным планом, предусматривавшим фиксирование фактора R_k на N_r уровнях, равных , и фактора на N_ уровнях (). Для каждой реализации входного процесса найдено значение энергетической характеристики реализации выходного процесса. Совокупность этих значений представляет собой очень ценную информацию, позволяющую определить вероятностные распределения амплитуд выходного процесса . Для оценки таких распределений можно использовать различные методы.