4.4. Преобразование стационарной случайной функции линейной дифференциальной системой

1. Система, описываемая дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

В этом случае вероятностные характеристики решений дифференциального уравнения при стационарных возмущениях получаются весьма просто. Возможны два вида решений уравнения - нестационарные и стационарные. При действии стационарного случайного возмущения устойчивое нестационарное решение уравнения с постоянными коэффициентами, может иметь место, только в самом начале стационарного режима. Такая ситуация реализуется при наличии нестационарностей, обусловленных переходом с одного режима возмущения на другой, например, когда система начинает двигаться из состояния покоя под действием стационарного возмущения. Если дифференциальная система асимптотически устойчива, то нестационарные случайные колебания обычно быстро затухают и после небольшого промежутка времени с ними можно не считаться. Кроме того, при обычных (неаварийных) эксплуатационных условиях переходы от одного стационарного режима эксплуатации судна к другому осуществляются постепенно, плавно и поэтому не сопровождаются ярко выраженными нестационарными явлениями. В связи с этим для решения большинства проблем прочности и надежности судовых конструкций наибольший интерес представляют стационарные решения и стационарные режимы колебаний судна и его конструкций.

Стационарные случайные колебания имеют место в устойчивых системах, в которых возможны установившиеся колебания при действии периодических возмущений. Удобный аппарат анализа стационарных решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами дает операционное исчисление. Напомним его основные положения.

Преобразование Лапласа некоторой функции независимой вещественной переменной t определяется соотношением

где s — некоторая комплексная переменная. Функцию называют оригиналом, а функцию — изображением. В таблице 4.1 приведены приведены некоторые оригиналы и их изображения, дающие представление о правилах нахождения функций и .

Таблица 3.1. Типовые функции и их изображения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами

. (3.13)

Применим преобразование Лапласа к этому уравнению. Воспользовавшись таблицей оригиналов типовых функций и полагая начальные условия нулевыми (), можно привести уравнение (3.13) к виду

, (3.14)

где и — изображения функций и . Из равенства (4.14) получаем

(3.15)

Функция в уравнении (3.15) представляет собой отношение изображений выходного и входного сигналов (при нулевых начальных условиях) и имеет тот же смысл, что и функция (3.4), выраженная как преобразование Лапласа функции Грина системы. Она называется передаточной функцией системы. Как отмечалось ранее, частотная характеристика находится путем замены аргумента s в операторе на . Спектральная плотность выходного процесса связана со спектральной плотностью входного процесса и модулем частотной характеристики выражением, аналогичным (3.12)

. (3.16)