Интересно знать

Известный русский писатель А. С. Грибоедов, поступив в Московский университет, окончил за шесть с половиной лет курс трех факультетов: словесного, юридического и физико-математического.

Профессор математики Оксфордского университета Чарльз Лютвидж Латвидж Доджсон (1832—1898) издал под именем Льюиса Кэрролла ряд детских книг. На русском языке неоднократно издавались «Алиса в Стране Чудес» и «Алиса в Зазеркалье».

Кто сильнее?

Однажды в минуты отдыха друзья-мушкетеры Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян решили немного поразвлечься в перетягивании каната. Портос с д'Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа над Арамисом с д'Артаньяном досталась им уже не так легко. А когда Портос с Арамисом выступили против Атоса с д'Артаньяном, то никакая из этих пар не смогла одолеть другую.

Определите, как мушкетеры распределяются по силе.

Нематематики о математике

Процветание и совершенство математики тесно связано с благосостоянием государства.

Наполеон

Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они все переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное.

Гёте

Модуль 3.

Арифметический квадратный корень

УЭ-1. Арифметический квадратный корень и его свойства

Ваша цель: знать определение арифметического квадратного корня его свойства и уметь применять их при решении задач.

Входная информация

Понятие арифметического квадратного корня.

Знак равносильности « » читается: «тогда и только тогда, когда».

Свойства арифметического квадратного корня.

1. где ;

2. ;

3. , где , ;

4. , где , ;

5. , если ;

6. , если и n – четное натуральное число.

Учимся решать задачи.

Пример 1. Доказать, что верно равенство .

Доказательство. Так как и , то – верное числовое равенство.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. По условию задачи арифметический квадратный корень из переменной равен 3. Число 3 – неотрицательное. Следовательно, , откуда .

Ответ: .

Заметим, что решить уравнение – значит найти множество его корней; поэтому ответ при решении уравнения из примера 2 записан в такой форме.

Пример 3. Доказать, что уравниние не имеет корней.

Доказательство. 1-й способ. Уравнение не имеет корней, так как отрицательное число –3 не может быть значением арифметического квадратного корня.

2-й способ. Выражение , стоящее в левой части уравнения, может принимать только неотрицательные значения, а в правой части находится отрицательное число. Поэтому ни при каком значении равенство не может быть верным. Значит, уравнение корней не имеет.

Пример 4. Сократить дробь .

Решение. Представим числитель данной дроби в виде разности квадратов:

.

Тогда имеем:

.

Пример 5. Вычислим:

.

Так как , а , то имеем:

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко всем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Решите уравнение:

а) х² = 9; в) х² = –1; д) х² = p;

б) х² = 0,49; г) х² = 5; е) х² = 0.

2. Каковы стороны квадрата, площадь которого равна а) 16 см²; б) 81 см²; в) 1 м²; г) 900 дм²?

3. Имеет ли числовое значение выражение:

а) ; б) – ; в) ; г) ?

4. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение:

а) ; б) ; в) ; г) ?

5. Укажите допустимые значения переменной:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6. Докажите, что:

а) = 12; б) = 13; в) = 14; г) = 15.

7. Вычислите: ; ; ; ; ; .

8. Могут ли быть равными:

а) квадраты неравных чисел;

б) арифметические квадратные корни из неравных чисел?

9. Рациональным или иррациональным числом является арифметический квадратный корень из простого числа?

10. Верно ли равенство:

а) = 9; в) = –9;

б) – = –9; г) = –9?

11. Докажите, что:

а) = 12; б) = 1.

12. Найдите значение корней:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

13. Вычислите: ; ; ; ; ; ; · ; · .

14. Найдите значение выражения: ; ; ; ; .

15. Вычислите:

а) · ; в) : ;

б) · · ; г) · .

16. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ; г) ; ж) ;

б) ; д) ; з) ;

в) ; е) ; и) ?

17. Найдите квадраты чисел:

а) ; в) ; д) + ;

б) –; г) ; е) – .

18. Какое из чисел больше:

а) или ; б) или ; в) или ?

19 . Вычислите: ; ; ; .

20. Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) при у > 0; д) при у < 0.

21. Упростите:

а) ; б) .

.

22. Всегда ли верно равенство = + ? При каких значениях а и b оно верно?

23. Верно ли:

а) если = 4, то ïхï = 4;

б) если = 4, то х = –4 или х = 4 ?

Задание 2. Вычислите:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

Задание 3. Найдите значение выражения:

а) ;

б) ;

в) .

Задание 4. Решите уравнение:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 5. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Задание 6. Упростите:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 7. Вычислите:

а) + ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 8. Упростите выражение:

а) , если ; в) , если ;

б) , если ; г) , если .

Задание 9. При каких значениях имеет место равенство:

а) ; в) ;

б) ; г) ?

Задание 10. Найдите множество корней уравнения:

а) ;

б) .

Задание 11. Решите уравнение:

а) б)

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 1. Ответы к устным упражнениям:

1. а) –3; 3; б) –0,7; 0,7; в) Æ; г) –; ; д) –; ; е) 0.

2. а) 4 см; б) 9 см; в) 10 см; г) 30 дм.

3. а) имеет, это ; б) имеет, это –5; в) не имеет; г) имеет, это 0.

4. а) а ³ 0; б) а £ 0; в) а Î R; г) а Î (–¥; 0) U (0; +¥).

5. а) х ³ 0; б) х – любое; в) х ³ 0; г) х £ 0; д) х ³ 0.

6. Доказательство может быть таким: а) 12 > 0 и 12² = 144;

б) 13 > 0 и 13² = 169.

7. 8; 10; 0,5; 11; 0; 0,2.

8. а) да, например, –5 ¹ 5, но (–5)² = 5²; б) нет.

9. Иррациональным.

10. а) Верно; б) верно; в) неверно; г) неверно.

12. а) 13; б) 15; в) 1,8; г) ; д) 2,5; е) .

13. 3; 12; 9; 7; 99; 28; 8; 6.

14. 2,5; ; 3; ; 0,5.

15. а) 165; б) 9; в) 2; г) 50.

16. а) х ³ 0; б) х £ 0; в) х ³ 0; г) х = 0; д) –1 £ х £ 1; е) любое;

ж) х – любое число; з) х ³ 0; и) х = 0.

17. а) 20; б) 20; в) 1,09; г) 1,69; д) 48; е) 12.

18. а) ; б) ; в) .

19. а) 9; б) 8; в) 64; г) 1.

20. а) |х|; б) х²; в) х²; г) ; д) у⁴.

21. а) – 1; б) 3 × .

22. Не всегда; верно, если а × b = 0.

23. а) Верно; б) верно.

К заданию 2. а) 361; б) 625;

К заданию 3. а) –220; б) 2004; в) –5.

К заданию 4. а) 9; б) нет решений; в) 37; г) –35; д) –16; 16; е) –49.

К заданию 5. Обозначив данное числовое выражение через А, получим:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

К заданию 6. а) ;

б) .

К заданию 7. Обозначив данное выражение через , получим:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

К заданию 8. а) , поскольку ;

б) , поскольку ;

в) , поскольку ;

г) , поскольку .

К заданию 9. а) . Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

б) . Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

в) . Это равенство имеет место при любом значении .

К заданию 10. Данное уравнение равносильно уравнению:

а) ;

б) .

Ответ: а) ; б) –8; 2.

К заданию 11. а) 2; 3; б) –1; 1.

УЭ-2. Преобразование выражений,