С целыми коэффициентами

Ваша цель: научиться находить корни многочленов с целыми коэффициентами.

Практическая часть

Пусть дано алгебраическое уравнение общего вида:

а₀xⁿ + a₁x^n–1 +...+ a_n–1x + a_n = 0,

где n – натуральное число, а₀, a_n–1, ..., a_n – некоторые действительные числа и а₀ ¹ 0.

Иногда удается подобрать целые корни таких алгебраических уравнений, используя теорему.

Учимся доказывать теоремы

Теорема. Если уравнение

а₀xⁿ + a₁x^n–1 +...+ a_n–1x + a_n = 0, (1)

с целыми коэффициентами имеет целый корень k, то число k является делителем свободного члена a_n.

Доказательство. Пусть число k является корнем уравнения (1), тогда, подставляя x = k в уравнение, получим верное числовое равенство

а₀kⁿ + a₁k^n–1 +...+ a_n–1k + a_n = 0,

откуда a_n = –k(а₀k^n–1 + a₁k^n–2 +...+ a_n–1).

Оба множителя в правой части полученного верного числового равенства целые – значит, свободный член а_п уравнения должен делиться на k. ·

Итак, мы доказали, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем его свободного члена. Отсюда следует, что искать целые корни нужно лишь среди делителей свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество.

Пример 1. Решим уравнение х³ – 2x + 1 = 0.

Решение. Согласно доказанной теореме , если это уравнение и имеет целые корни, то только –1 или 1. Проверкой убеждаемся, что число 1 действительно является корнем, т.е. х₁ = 1.

Разложим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на множители, разделив его на двучлен х – 1:

х³ – 2x + 1 х – 1

х³ – x² x² + x – 1

х² – 2x + 1

x² – x

–x + 1

–x + 1

0

Значит, х³ – 2x + 1 = (x – 1)(x² + x – 1).

Решая уравнение х² + x – 1 = 0, находим: x_2,3 = .

Ответ: .

Пример 2. Решим уравнение

x² – 10x³ + 35х² – 50х + 24 = 0.

Решение. Если это уравнение имеет целые рациональные корни, то они могут быть только делителями числа 24, т. е. ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24. Проверкой убеждаемся, что x₁ = 1.

Делим многочлен, стоящий в левой части, на двучлен х – 1 и получаем:

x² – 10x³ + 35х² – 50х + 24 = (x – 1) (x³ – 9х² + 26x – 24).

Далее решаем уравнение x³ – 9х² + 26x – 24 = 0.

Проверкой делителей свободного члена находим х₂ = 2 и, выполнив деление многочлена, стоящего в левой части полученного уравнения, на двучлен х – 2, получаем:

x³ – 9х² + 26x – 24 = (х – 2) (х² – 7х + 12).

Решая уравнение х² – 7х + 12, находим x₃ = 3, x₄ = 4.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Практическая часть

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Найдите целые корни уравнения:

а) x⁴ – 15x² + 10x + 24 = 0;

б) x⁴ – l0x³ + 35x² – 50x + 24 = 0;

в) x⁴ – 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0.

Задание 2. Найдите рациональные корни уравнения:

а) 6x⁵ + x⁴ – l4x³ + 4x² + 5x – 2 = 0;

б) 6x⁴ – 4lx³ + 85x² – 51x + 9 = 0;

в) 24x⁶ + l0x⁴ – x³ – l9x² – 5x + 6 = 0.

Задание 3. Решите уравнение путем подбора корня с последующим понижением степени:

а) x³ – 4x² – x + 4 = 0;

б) x³ – 7x² + 16x – 12 = 0;

в) x³ – x² – 8x + 12 = 0;

г) x⁴ – 4x³ – l9x² + l06x – 120 = 0;

д) x⁴ + 4x³ – l0x² – 28x – 15 = 0;

е) x⁴ – 3x³ – 8x² + 12x + 16 = 0.

Задание 4. Решите уравнение:

а) x³ – 4x² – 4x – 5 = 0;

б) x³ + 8x² + 15x + 18 = 0;

в) x⁴ + 2x³ – 13x² – 14x + 24 =0;

г) x⁵ – x⁴ – 3x³ + 5x² – 2x = 0.

Задание 5. Определите свободный член уравнения 6х³ – 7х² – 16x + а = 0, если один из его корней равен 2. Найдите два остальных корня.