Входная информация
Рассмотрим некоторые подходы к решению уравнений высших степеней.
Простейшие уравнения. сводящиеся к квадратным. Многие уравнений с помощью метода введения новой переменной можно свести к квадратному уравнению, к их системе или совокупности таких уравнений.
Пример1.
Решим уравнение
.
Решение. Вводим
новую переменную
,
тогда
,
откуда
и
.
Далее имеем:
1)
, т.е.
.
Его корни:
.
Ответ:
.
Пример 2. Решим уравнение
.
Решение.
Введем подстановку
,
тогда данное уравнение примет вид y
(y + 1) – 12 = 0, т.е.
.
Отсюда находим y = –
4 или y = 3.
Чтобы найти значения
переменной x, нужно
решить уравнения
и
,
после чего объединить их корни. Решая
полученные квадратные уравнения,
находим:
,
.
Ответ: –2; 1.
Решение уравнений вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т , где a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c). Рассмотрим конкретный пример.
Пример 3. Решить уравнение
(х + 4) (х + 5) (х + 7) (х + 8) = 4.
Решение. Заметим, что 4 + 8 = 5 + 7. Перемножив в левой части уравнения выражения, стоящие в первой и четвертой скобках, а также выражения, стоящие во второй и третьей скобках, получим:
.
Сделаем замену
.
Тогда y (y
+ 3) = 4, или
,
откуда у = – 4 или y
= 1.
Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности уравнений:
или
т.е.
или
.
Решая эту совокупность
уравнений, получаем:
Ответ:
.
Решение уравнений вида
Итак, уравнение (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т приводится к квадратному методом подстановки, если a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c).
Решение
уравнений вида
.
Рассмотрим конкретные
примеры.
.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Пусть х – 4,5 = y + k, х – 5,5 = у – k(*). Вычитая из первого равенства второе, получаем k = 0,5. Тогда х – 4,5 = у + 0,5, . х - 5,5 = = у– 0,5. Относительно у уравнение примет вид:
,
или
.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим биквадратное уравнение:
,
;
;
,
т.е.
.
Тогда из формул (*) находим решение исходного уравнения.
Ответ: 4,5; 5,5.
Итак, уравнение
приводится к биквадратному
заменой
.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение. Введем подстановку х = у – 4 и данное уравнение перепишем так:
.
Выполним преобразования:
,
,
.
Откуда
,
или
.
Отсюда находим, что
.
Из равенства
х =
у –
4 имеем:
или
.
Ответ: –3; –5.
Метод выделения полного квадрата. Для решения некоторых уравнении, сводящихся к квадратным, используется метод выделения полного квадрата.
Пример 6. Решим уравнение
.
Решение. В левой части данного уравнения выделим полный квадрат:
,
.
Введем подстановку
.
Тогда относительно переменной у
уравнение примет вид:
,
откуда получаем: y
= 1 и y = 3.
Если у = 1, то
,
.
Откуда находим:
Если у = 3,
то
,
. Откуда находим:
.
Ответ:
.
Метод разложения левой части на множители. Если левую часть уравнения вида f(x) = 0, где f(x)– многочлен удается разложить на множители, то решение такого уравнения сводится к решению совокупности алгебраических уравнений_меньшей степени.
Заметим, что решить совокупность уравнений с одной переменной (f(x)= 0 или g(x) = 0) – значит найти все числа, являющиеся решением хотя бы одного уравнения, входящего в данную совокупность, или доказать, что таких чисел не существует. Совокупность уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0 символически можно записать так:
либо f(x) = 0 или g(x) = 0.
Пример 7. Решить уравнение
.
Решение. Сгруппируем первые три члена уравнения и вынесем за скобку:
или
;
,
или
.
Решений нет.
.
Ответ:
.
Пример 8. Решить уравнение
.
Решение. Применив группировку, запишем уравнение в виде:
.
Выделим полные квадраты в каждой скобке, не нарушив равносильности уравнений:
,
т. е.
.
Откуда имеем:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
или
.
Корнями первого
уравнения являются числа
,
а второе уравнение решений не имеет.
Ответ:
.
Решение возвратных уравнений. Некоторые уравнения имеет особенность: коэффициенты, равноудаленные от начала и конца многочлена, стоящего в левой части уравнения, равны между собой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На примере покажем способ решения возвратного уравнения третьей степени.
Пример 9. Решить уравнение
.
Решение. Применив группировку, запишем данное уравнение в виде:
,
т.е.
,
откуда
,
-
или
.
Ответ:
.
Заметим, что
уравнение вида
равносильно уравнению
,
т. е. уравнению
которое легко решается
Практическая часть
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 1. Решите уравнение:
а)
,
б)
.
Задание 2. Решите уравнение, введя новую переменную:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Задание 3. Решите уравнение:
а)
,
б)
;
Задание 4. Решите уравнение:
а)
,
б)
.
Задание 5. Решите уравнение:
а)
;
б)
.
Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Задание 7. Решите уравнение:
а)
;
б)
;
в)
.
Задание 8. Решите уравнение:
а)
;
б)
.
Задание 9. Решите уравнение:
а)
;
б)
.
Задание 10. Решите уравнение:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
УЭ- 9. Задачи нахождение целых корней многочлена