Рубрика «Ваш помщник»

1. а) 1, 12; б) –1, 2; в) 2, 5; г) –2, 5.

2. а) х² – 9х + 14 = 0; б) х² + 4х – 21 = 0; в) х² + 40х + 300 = 0;

г) х² – 7х = 0.

3. а) х² – 3х + 2 = 0; б) х² – 15х – 8 = 0.

4.При с = 0.

5. а) а = 6; б) а = 3.

6. а) Так как х₁ = –2, то х₂ = = 11. Значит, а = –х₂= –11.

б) так как х₁ = –6, то х₂ = (–2) : (–6) = . Тогда 3х² + 17х – 6 = 3(х – )(х + 6) = (3х – 1)(х + 6), откуда k = 3, а = –1.

8. Если 1 – – корень данного уравнения, то и 1 + тоже является его корнем. Составив квадратное уравнение по его корням, будем иметь х² – 2х – 1 = 0, что и показывает, что 1 – – корень данного уравнения.

10. а) х₂ = 1 + ; х² – 2х – 2 = 0;

б) х₂ = 2 – ; х² – 4х – 2 = 0.

11. а) х² – 7х – 14 = 0; б) х² – 7х = 0; х² – 7х – 14 = 0;

в) х² – 12х + 36 = 0.

12. а) в этом случае рассуждение может быть построено так: «Если уравнение приведенное, то сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; х² – 6х + … = 0 – приведенное уравнение, следовательно, х₁ + х₂ = 6. Из того, что х₁ + х₂ = 6 и х₁ = 2 следует, что х₂ = 4. Если х₁ = 2 и х₂ = 4 – корни приведенного уравнения, следовательно q = 2 × 4 = 8. Итак, уравнение имеет вид х² – 6х + 8 = 0.

б) х₂ = 6; р = 9; в) х₂ = 6; q = –6.

УЭ- 6. Задачи на исследование знаков корней

приведенного квадратного уравнения

Ваша цель: научиться решать задачи на исследование знаков корней приведенного квадратного уравнения.

Входная информация

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение и будем считать, что его дискриминант неотрицателен. Тогда возможны следующие случаи.

1) Пусть q > 0; так как q= , то оба корня имеют одинаковые знаки:

а) если р > 0, сумма отрицательна , значит, оба корня отрицательны;

б) если р < 0, сумма положительна , значит, оба корня положительны;

в) если р = 0, уравнение не имеет действительных корней и .

2) Пусть q < 0. В этом случае из равенства следует, что корни имеют противоположные знаки:

а) если р > 0, сумма отрицательна и, значит, больший по модулю корень отрицателен;

б) если р < 0, сумма положительна и, значит, больший по модулю корень положителен;

в) если р = 0, то .

3) Пусть q = 0; так как , то хотя бы один из корней уравнения равен нулю. Пусть , тогда и . Аналогично, если , то . Если же и р = 0, то уравнение имеет два равных корня

Полученные результаты исследования знаков корней приведенного квадратного уравнения показаны в таблице.

q	p	Знаки корней
q > 0	p > 0	оба корня отрицательны
	p < 0	оба корня положительны
	p = 0	корней нет
q < 0	p > 0	корни разных знаков; больший по модулю корень отрицателен
	p < 0	корни разных знаков; больший по модулю корень положителен
	p = 0
q = 0	p ≠ 0
	p = 0

Если обе части квадратного уравнения (а ≠ 0) разделить на а, то получим приведенное квадратное уравнение

,

которое будет иметь те же корни, что и исходное. В этом случае , поэтому исследование знаков корней, которое выполнено ранее, будет таким же и для уравнения .

Пример 1. Не решая уравнение , определим знаки его корней.

Находим дискриминант: , D > 0.

Корни действительны и различны между собой; так как их произведение и сумма положительны, то оба корня положительны.

Пример 2. Не решая уравнение , определим знаки его корней.

.

Корни действительны и различны между собой, так как их произведение отрицательно (корни разных знаков); отрицательный корень по модулю больше положительного.

Практическая часть

Задание 1. Продумайте ответы к устным упражнениям:

1. Известно, что дискриминант уравнения положителен. При каком условии корни данного уравнения будут иметь одинаковые знаки?

2. Приведите пример квадратного уравнения, у которого:

а) один корень равен нулю, а второй отличен от нуля;

б) оба корня равны нулю.

3. Докажите, что уравнение не может иметь корни одного знака.

4. Докажите, что уравнение имеет два различных корня и определите знаки этих корней:

а) ; б)

Задание 2.Не решая уравнения, определите знаки его корней:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

Задание 3. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) ; б) .

Задание 4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

УЭ-7. Решение биквадратных уравнений

Ваша цель: научиться решать биквадратные уравнения