4.2.1 Форма Коши

Матричная форма записи системы дифференциальных уравнений решенных относительно первой производной координат системы автоматического регулирования

(4.1)

где – собственные координаты системы;

– постоянные коэффициенты – суммы и произведения постоянных времени , коэффициентов усиления ;

– воздействия на систему.

Форма Коши применяется в теории управления не часто, удобна, если для расчета использовать классические математические пакеты: MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple, Derive. Форма Коши используется при построении аналоговых вычислительных моделей матричного типа (например, моделей на операционных усилителях).

4.2.2 Модели в переменных состояния

Матричная форма записи системы дифференциальных уравнений системы автоматического регулирования, адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений, связывающих внутренние координаты системы автоматического регулирования с выходными. Эта модель также имеет вид дифференциальных уравнений, но записанных в специальной форме – как система уравнений первого порядка в векторно-матричной форме

где - вектор входных переменных;

- вектор выходных переменных;

- вектор переменных состояния;

- матрица коэффициентов системы;

- матрица входных коэффициентов (матрица управления);

- матрица выходных коэффициентов;

- матрица обхода, определяющая прямую зависимость выхода от входа.

Эта форма используется для построения моделей больших систем, имеющих несколько входов и выходов, описание которых оптимально в матричной форме. Матричное описание строго формализовано, и не требует понимания физической природы системы.

4.2.3 Дифференциальное уравнение, решенное относительно регулируемой величины y(t) - уравнение движения

Система дифференциальных уравнений (4.1) может быть преобразована к одному уравнению путем исключения промежуточных координат (обычно выходную координату выражают через координату задания)

Результатом подобного преобразования является уравнение движения системы

, (4.2)

где - характеристический полином;

- коэффициенты этого полинома определяют влияние задающего воздействия на регулируемую координату , причем его степень меньше степени характеристического полинома, то есть ;

- коэффициенты полинома определяют влияние помехи на систему.

4.2.4 Дифференциальное уравнение, решенное относительно ошибки X(t) - уравнение ошибки

Если система дифференциальных уравнений (4.1) решается относительно ошибки системы, то получается уравнение ошибки замкнутой системы

, (4.3)

где - характеристический полином;

- коэффициенты полинома определяют влияние задающего воздействия на ошибку ;

- коэффициенты полинома определяют влияние помехи на систему.

4.3 Передаточные функции системы автоматического регулирования

Функция, связывающая один входной и один выходной сигналы системы автоматического регулирования, является формой записи дифференциальных уравнений системы автоматического регулирования, решенной относительно требуемой выходной координаты. Передаточные функции (ПФ) получают из дифференциального уравнения, решенного относительно требуемой координаты системы. Для чего правую часть уравнения делят на характеристический полином . Отношение полиномов в правой части при возмущающих воздействиях и есть передаточная функция. Для типовой структурной схемы замкнутой системы автоматического регулирования, изображенной на рисунке 4.1, различают три основные передаточные функции, применяемые для исследований

1) - передаточная функция разомкнутой системы;

2) - передаточная функция замкнутой системы;

3) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

Рисунок 4.1 – Типовая структурная схема замкнутой системы автоматического регулирования

Запишем по структурной схеме уравнение движения для разомкнутой системы

Для замкнутой системы

,

где - передаточная функция прямого канала.

Разделим уравнение движения (4.2) на уравнение ошибки (4.3), считая, что и

так как характеристический полином , если добавить единицу к , то получим

При исследованиях характеристический полином приравнивают к нулю, то есть вместо него можно использовать

- характеристическое уравнение.