3.2 Математические основы расчета систем автоматического регулирования

Исследование переходных процессов систем автоматического управления основывается на использовании дифференциальных или интегральных уравнений, называемых уравнениями динамики. При изучении динамических процессов систем автоматического управления отвлекаются от конкретной физической природы регулируемых величин и устройств, а интересуются лишь математической моделью процессов управления. В основе построения математической модели системы лежит ее структурная схема, состоящая из динамических звеньев. Динамические звенья характеризуются дифференциальными или операторными уравнениями, описывающими физические законы происходящих в них динамических процессов. Совокупность полученных дифференциальных уравнений динамических звеньев представляет математическую модель системы и служит для получения дифференциального уравнения системы в целом.

Расчет переходных процессов линейных систем может быть произведен аналитически: путем решения дифференциальных уравнений или, с некоторым приближением, методом вещественных частотных характеристик. В случае наличия значительных нелинейностей применяются графические методы.

Аналитические методы расчета основываются на решении дифференциальных уравнений системы, полностью определяющих переходный процесс в виде зависимости искомых координат от времени.

Решение дифференциальных уравнений может быть произведено классическим или операторным методами. При решении классическим методом, возникает необходимость определения постоянных интегрирования, связанная с учетом начальных условий, что при дифференцировании третьего и более высоких порядков представляет затруднения. С целью упрощения методов расчета и проектирования систем автоматического регулирования уравнения динамики объектов или устройств записывают не через оригиналы функций, а в виде изображений функции, полученных с помощью прямого преобразования Лапласа.

Если оригинал представляет собой функцию времени , то изображение этой функции есть функция комплексной переменной , задаваемая в виде следующего интеграла:

(3.1)

где: - символ прямого преобразования Лапласа. Для определения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа.

,

где - абсцисса абсолютной сходимости

- символ обратного преобразования Лапласа.

Формула для нахождения обратного преобразования Лапласа используется редко. Вместо этого с помощью (3.1) преобразования Лапласа для наиболее распространенных функций времени сведены в таблицу, по которой в случае необходимости устанавливается соответствие между оригиналом – функцией и ее изображением по Лапласу – функцией . Изображения по Лапласу часто применяемых функций приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Преобразования Лапласа

Тип функции	Функция времени,	Преобразование Лапласа,
Линейное преобразование
Дифференцирование при нулевых начальных условиях
Интегрирование
Операция сдвига
Единичная импульсная функция		1
Единичная ступенчатая функция
Единичная линейная функция
Степенная функция
Экспонента
Экспонента n-го порядка
Синусоида
Косинусоида
Затухающая синусоида
Затухающая косинусоида
Расходящаяся синусоида
Расходящаяся косинусоида

Из определения преобразования Лапласа (3.1) следует, что если , то , (3.2)

(3.3)

Использование этих двух свойств преобразования Лапласа значительно расширяет применение таблицы 3.1.

Необходимо отметить, что вычисление обратного преобразования дает функцию времени, удовлетворяющую условию . Следовательно, чтобы соблюсти математическую строгость, мы всегда должны считать, что при отрицательных значениях .

Пример 3.1

Найдем преобразование Лапласа для функции . Используя таблицу 3.1 и свойство 3.2, имеем:

Далее, согласно свойству (3.3):

Этому выражению можно придать иную форму:

Этот пример иллюстрирует одно важное обстоятельство. Как сказано выше, мы обычно работаем с преобразованием Лапласа, представляющим собой отношение двух полиномов от переменной (называемым дробно-рациональной функцией). Однако таблица, по которой находится обратное преобразование Лапласа, содержит только функции невысокого порядка. Следовательно, для того чтобы воспользоваться таблицей, необходимо дробно-рациональную функцию представить в виде отдельных членов, которые содержатся в этой таблице. Данная процедура называется разложением на простые дроби, простым примером которого является соотношение

При известных константах и задача заключается в определении коэффициентов и , присутствующих в разложении на простые дроби. Рассмотрим общий метод решения данной задачи.

Пусть задана дробно-рациональная функция общего вида

,

где через обозначен полином в числителе, а через - полином в знаменателе этой функции. Чтобы выполнить разложение на простые дроби, прежде всего надо найти корни знаменателя. Тогда можно представить в виде:

Предположим, что нам необходимо найти коэффициент . Сначала умножим все члены на

Если теперь положить , то все члены в правой части равенства обратятся в нуль, кроме -го члена, поэтому

(3.4)

В математике называется вычетом функции в полюсе .

Пример 3.2

Найдем обратное преобразование Лапласа для функции

Сначала разложим на простые дроби

Коэффициенты и вычислим в соответствии с формулой (3.4).

Тогда разложение на простые дроби принимает вид

Это разложение легко проверить путем приведения к общему знаменателю двух слагаемых в правой части. В результате обратное преобразование Лапласа для имеет вид:

.

Функцию часто опускают, но мы должны помнить, что обратное преобразование Лапласа отлично от нуля только при положительных значениях , а при отрицательных оно должно равняться нулю.