2.3. Моделирование однолинейной системы массового обслуживания
2.3.1. Распределение длины очереди
Рассмотрим
одноканальную систему массового
обслуживания, в которую поступают
заявки, образующие ординарный поток
однородных событий с ограниченным
последействием и функциями распределения
.
Длительности обслуживания являются
случайными величинами
,
не зависящими от «предыстории» процесса
обслуживания, с законами распределения
.
Заявки в системе обслуживаются в порядке
очереди. Если поступившая заявка застает
канал занятым, то она ожидает освобождения
канала.
В результате
моделирования необходимо найти
распределение числа требований в СМО.
Обозначим:
- число требований в СМО в момент времени
,
при
- длительность времени с момента
до момента окончания обслуживания
заявки, находящейся на обслуживании в
момент
,
=
0 при
=0;
- длительность времени с момента
до момента поступления следующей заявки.
Состояние СМО в момент времени
есть вектор (
,
,
),
который полностью определяет дальнейшее
развитие СМО и в силу этого является
марковским случайным процессом.
Моделирование
идет по моментам совершения событий.
Обозначим моменты совершения событий
через
События могут быть двух типов: события
окончания обслуживания заявки, события
поступления новой заявки. Пусть в
начальный момент
= 0
,
=
0,
=
=
.
Первое событие совершается в момент
=
и в этот момент состояние СМО есть (
).
Сдвиг модельного времени осуществляется
на величину
=
.
Тогда в интервале (0,
)
= 0. Следующее событие совершается в
момент
+
,
сдвиг модельного времени осуществляется
на величину
и в интервале (
,
+
(
)
имеем равенство
= 1.
Рассмотрим переход
от первого события ко второму событию,
т.е. от состояния (
)
к следующему событию. Имеем
(
)
(
)
+
(
)
В силу этого
в интервале (
+
,
+
)
при
= 1
=0.
Переход от состояния
(
к следующему состоянию осуществляется
аналогично переходу от состояния
( , = 0, = ).
Рассмотрим переход
от состояния (
)
к следующему состоянию. Сдвиг модельного
времени осуществляется на величину
)
и в интервале (
+
,
+
+
))
имеем равенство
= 2. Переход имеет вид
(
)
)
=
)
(1,
,
-(
))
+
)
=
)(3,
-
,
).
В силу этого в
интервале (
+
,
+
+
)
при
)
=
)
= 1
= 1 и
= 3 в интервале (
+
,
+
+
+
).
Эту процедуру можно продолжить в виде в виде следующих рекуррентных процедур:
(
)
)
(
),
где при
)
=
=1
=
-1,
=
,
=
-
,
при
)
=
=1
=
+1,
=
-
,
=
. На интервале (
.
Далее имеем
(
)
(
),
где при ) = =1 =0, =0, = - ,
при ) = =1 =2, = - , = .
На интервале ( в этом случае 1. Далее
(
)
(
),
=1,
=
,
=
.
На интервале ( в этом случае 0.
Если мы хотим получить стационарное распределение числа заявок в СМО, то в силу эргодичности, свойственной рассматриваемой системе обслуживания, модельное время функционирования модели надо сделать достаточно большим. Критерием останова моделирования может служить оценка математического ожидания числа заявок в СМО. Если эта оценка стала колебаться незначительно, то можно останавливать процесс моделирования.
Если мы хотим получить нестационарное распределение числа заявок в СМО в момент времени , то в этот момент модельного времени надо процесс моделирования останавливать и производить новую реализацию процесса моделирования при тех же начальных условиях, но с другими независимыми реализациями участвующих в этом процессе случайных величин. Новые реализации процесса моделирования (прогоны модели) надо производить до тех пор, пока колебания оценки среднего числа заявок в СМО в момент времени станут незначительными.