42. Циркуляция и ротор векторного поля.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2 называется циркуляцией вдоль кривой L в направлении . Если -силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль пути L.

(формула Стокса).

43. Операторы Гамильтона и Лапласа.

Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию

В сферических координатах:

или

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом , то есть скалярное произведение оператора набла на себя.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами

в n-мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.

Если умножить вектор набла а скаляр φ, то получится вектор

который представляет собой градиент функции φ.

Если вектор набла скалярно умножить на вектор , получится скаляр:

то есть дивергенция вектора .

Если умножить на векторно, то получится ротор вектора .

Также, произведение есть оператор Лапласа, и обозначается Δ. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

44 Потенциальное векторное поле и его свойства.

называется потенциальным в области G, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U(M). Функция U(M) – потенциал векторного поля . ; ; ; ; ;

Т.о. в потенциальной поверхностно односвязной области G поле обладает следубщими свойствами:

1) циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

2) Для любых т. А,В из области G циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой АВ, а зависит только от выбора А и В.

3) Потенциальное поле является безвихревым

- необходимое и достаточное условие потенциальности поля в поверхностно односвязной области.

Гармоническое векторное поле.

гармоноческое, если оно является одновременно потенциальным и сопеноидальным.

; ;

45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.

Сопеноидальное векторное поле.

Векторное поле называется сопеноидальным в области G, если в этой области (нет источников). ;

; ; ; ; ;

Закон сохранения интенсивности векторной трубки в сопеноидальном поле.

В сопеноидальном поле поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Векторные линии в соп. поле не могут начинаться или заканчиваться внутри областисопеноидальности. -это поле является соп-м.

Любое физ векторное поле C может быть представлено в виде суммы и , где -потенциальное, -соленоидальное.