28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.

Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Под геометрической фигурой понимается одно из следующих связных (включая границу) множеств точек (см. таблицу).

Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.

Под мерой фигуры Ф понимается следующее (см. таблицу).

Если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по фигуре Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается

Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.

30. Криволинейный интеграл первого рода.

1). ; - диф-ма на [a,b];

; L: x=g(y);

;

2). ; x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ; L:

;

3). ; ; L:

4). ; ;L: ;

; ;

31. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.

; ;

y-трапецевидная область Д.

x-трапецевидная область Д

Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.

; ;

для y-трапецевидной области

для x-трапецевидной области

Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.

32. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.

(*)

Свойства

1. x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны

2. x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка

3. 

P₁: x(u,v), y(u,v) P_2: x(u+_∆u,v), y(u+_∆u,v)

I – Якобиан(Якоби)

Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.

Вычисление в полярной сист координат. ,

a)

b )

c)

33. Тройной интеграл.

: , z меняется от поверхности до поверхности.

Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.

Замена переменных в тройном интеграле.

, где |I| - модуль Якобина.

Геометрический смысл: |I| -коэффициент растяжения объёма при отображении области V на область V’

В цилиндрических координатах:

В сферических координатах: