15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как

Тогда длина дуги равна

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

17. НИ-1

Пусть f(x) определена на и инт на ; , т.е.

Пусть . Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.

;

1. Аддитивность : Если сходится, то , ;

2. Линейность: Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-1.

Если f(x) непрерывна на и F – какая-то первообразная для ф-ции f(x), то

Интегрирование по частям.: Если U,V – непрер. Диф-мы ф-ции на , то

Исследование на сходимость.

Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x) , тогда если и , то

сходится сходится

расходится пасходится

Предельный признак сравнения для НИ-1.

Т2: Пусть , ; , тогда если конечный , то и сходятся или расходятся одновременно.

При k=1 при

Т3: Если и сходится, то сходится.

Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .

Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся

Главное значении.

, , Если и сходится, то и

18. Несобственные интегралы второго рода.

f(x) определена на [a,b); ; , т.е.

называется НИ-2 и обозначается

Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1. }

1. Аддитивность

Если сходится, то , ;

2. Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.

Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ. N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ; (число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ. , для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.