38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1)
,
где L
– любой замкнутый контур Д.
2)
не
зависит от пути AB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:
где
.
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ:
;
{
;
}
;
не зависит от пути.
39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1) , где L – любой замкнутый контур Д.
2) не зависит от пути AB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:
где .
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ: ;
{ ; } ;
не зависит от пути.
40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Пусть V
– некоторая область в пространстве.
Говорят, что в этой области задано
скалярное поле, если каждой т.
поставлено
в соответствие некоторое число U(M)
(пример – поле температур, освещенности).
Скалярное поле не зависит от выбора
системы координат. Поверхность или
линия, на которой U(M)
принимает постоянное значение называется
поверхностью уровня скалярного поля.
Пусть U(M)
– некоторое скалярное поле.
-
единственный фиксированный вектор.
-фиксированая
точка.
;
;
Если
,
то он называется производной скалярного
поля U(M)
по направлению
в точке
.
lnH-скорость изменения ф-ции U(m) по направлению в точке .
;
;
;
;
;
;
;
принимает наибольшее
значение при
,
т.е. в направлении вектора gradU
в т.
gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.
41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
Говорят, что в V
занадо векторное поле, если каждой т.
поставлен
в соответствие некоторый вектор
.
Физ. Векторные поля не зависят от выбора
СК.
Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.
Поток векторного поля. Дивергенция.
Дивиргенцией
векторного поля
называется
скалярная ф-ция
.
Формула Остроградского:
характеризует
плотность источников поля в данной
точке. Не зависит от выбора СК.