Розділ 8. Диференціальні рівняння

37. 1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення

Розглянемо декілька прикладів. Нехай швидкість знецінювання устаткування внаслідок його зносу пропорційна в кожен даний момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість – . Поставимо питання: якою буде вартість устаткування після років?

Введемо позначення. Нехай – вартість устаткування в момент . Зміна вартості (знецінювання) виражається різницею . Швидкість знецінювання тоді буде похідною за часом, тобто , і вона пропорційна фактичній вартості в даний момент . Одержуємо рівняння

з початковою умовою

.

Розв’язавши таке рівняння, одержимо відповідь на питання даної задачі.

Розглянемо інший приклад. Нехай – кількість продукції, що випускається галуззю за час ; – ціна продукції. Сума інвестицій (засобів, спрямованих на розширення виробництва) пропорційна доходові з коефіцієнтом пропорційності ( , ). Збільшення швидкості випуску продукції пропорційно збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності . Потрібно знайти кількість продукції, що випускається галуззю за час , якщо в початковий момент часу .

Відповідно до умови задачу можна сформулювати наступним чином. Запишемо інвестиції в вигляді: . Тоді ,

або . Позначимо . Тоді рівняння набуде вигляду , розв’язавши його одержимо відповідь на питання задачі.

Нехай торговими установами реалізується продукція, про яку в момент часу з числа потенційних покупців знає лише покупців. Після проведення рекламних оголошень швидкість зміни числа знаючих про продукцію покупців пропорційна як числу знаючих про товар покупців, так і числу покупців, що про нього ще не знають. Відомо, що в початковий момент часу про товар довідалося осіб (час відраховується після рекламних оголошень); – задане число. Знайти закон зміни в залежності від часу числа покупців, що знають про продукцію.

Відповідно до умови, рівняння для визначення має вигляд , де – швидкість зміни числа знаючих про товар покупців; – число знаючих про товар; ( ) – число не знаючих про товар у момент часу ; – додатній коефіцієнт пропорційності. Початкова умова: .

Будемо вивчати звичайні диференціальні рівняння, тобто такі, у яких шукана функція є функцією однієї змінної.

Означення 8.1. Звичайним диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідні , , ..., :

. (8.1)

При цьому функція може явно не містити у собі , , , ,..., , але обов'язково повинна містити – .

Порядком диференціального рівняння будемо називати порядок найвищої похідної, що входить у нього.

Так, наприклад, рівняння , , є диференціальними рівняннями першого порядку, а рівняння є диференціальним рівнянням другого порядку.

Означення 8.2. Розв'язком диференціального рівняння називається усяка функція , що задовольняє його.

Наприклад, функція є розв'язком рівняння , тому що , і, підставляючи та у рівняння, одержуємо , що вірно для будь-якого .

Розв'язок диференціального рівняння називають інтегралом цього рівняння.