Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.

1. Найпростіше диференціальне рівняння другого порядку має вигляд

. (8.18)

Послідовно двічі інтегруючи і тим самим знижуючи порядок рівняння, будемо мати

,

,

Приклад 8.7. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , .

Розв’язання. Загальний розв'язок диференціального рівняння одержуємо, двічі інтегруючи його послідовно:

,

.

Підставляючи у вирази початкові умови, одержуємо систему рівнянь для визначення значень і :

звідки

Шуканий частинний розв'язок має вигляд .

2. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно функції , має вигляд

. (8.19)

Введемо нову невідому функцію, прийнявши , . Тоді рівняння (8.19) буде

.

Це диференціальне рівняння першого порядку відносно функції . Розв’язуючи його, одержуємо

.

Підставляючи замість його значення , приходимо до найпростішого диференціального рівняння першого порядку

.

Проінтегрувавши його, одержимо загальний розв'язок даного рівняння

.

Приклад 8.8. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , .

Розв’язання. Дане рівняння не містить явно шуканої функції, тому замінимо , , одержимо диференціальне рівняння , що є лінійним рівнянням першого порядку.

Знайдемо допоміжну функцію у вигляді . Тоді . Підставимо значення і в рівняння і підберемо функції і так, щоб виконувалася рівність

або .

Складемо систему рівнянь для визначення функцій і :

Розв’язуючи перше рівняння, знаходимо, що . Підставивши знайдене значення у друге рівняння і розв’язавши його відносно функції , одержимо .

Отже, або . Але оскільки , то загальний розв'язок заданого рівняння знайдемо, проінтегрувавши функцію .

Інтегруючи, маємо .

Щоб із загального розв'язку рівняння виділити частинний, який задовольняє початковим умовам , , підставимо значення , , , одержимо, що , .

Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд

.

3. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно незалежної змінної має вигляд

. (8.20)

Таке рівняння допускає зниження порядку, якщо за нову незалежну змінну взяти , а за нову шукану функцію взяти .

Тоді, застосувавши правило диференціювання складної функції, одержимо або .

Підставляючи значення й у рівняння (8.20) одержуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції

.

Розв'язок цього рівняння знайдемо у вигляді .

Замінюючи , одержуємо – рівняння з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівності , інтегруючи яку, знайдемо загальний розв'язок даного рівняння у вигляді .

Приклад 8.9. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння не містить у собі явно незалежну змінну . Замінимо , . Одержимо рівняння , яке є рівнянням з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівняння , інтегруючи яке маємо або . Звідки .

Оскільки , то розв’яжемо рівняння або . Інтегруючи, одержуємо – загальний інтеграл заданого рівняння