Давление в точке действует нормально к площадке действия и направлению по внутренней
Другими словами, т.к. жидкость практически не способна сопротивляться растяжению, а в покоящейся жидкости не действуют касательные силы, то на неподвижную жидкость могут действовать только силы давления. Причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормам внутрь объема и следовательно являются сжимающими.
Величина давления не зависит от ориентировки, т.Е. От угла наклона площадки, к которой приложено давление.
Этот вывод является выражением известного закона Паскаля, гласящим, что: «Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях»
Очевидно, что если не зависит от ориентации площадки, проходящей через данную точку и определяется только положением точки в жидкости, то давление P есть функция только координат, т.е.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Получаются на основе векторной суммы объемных и поверхностных сил, действующих на мысленно выделенных элементарный объем жидкости.
Рисунок
Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, выделенного внутри покоящейся жидкости.
Пусть на единицу массы параллелепипеда действует массовая сила F, с ее составляющими X,Y,Z
Если на три грани, пересекающиеся в(.) 0 будет действовать давление P, то на соответствующих противоположных гранях давления будут равны:
;
;
Уравнение равновесия в проекции на ось X будет иметь вид
(dy)
(dz)
Эти уравнения были получены Эйлером в 1755 году и называются ур. Эйлера равновесия жидкости и газа. Они являются основными уравнениями гидростатики.
Если эту систему уравнений умножим последовательно на dx, dy, dz и сложим, то получим:
Т.к. P = f(x,y,z), то правая часть последнего уравнения есть полный дифференциал
,
тогда имеем
Т.к. имеет место равновесие жидкости и правая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат, то полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат должна быть и левая часть уравнения.
Обозначим эту функцию через функцию
Т.к. есть функция только координат и т.к. частные производные ее по координатам дают соответствующие проекции(X,Y,Z) объемом силы, отнесенной к единице массы жидкости, то следовательно Ф. является потенциальной функцией. Объемная же сила F , удовлетворяющая условиям является силой, имеющей потенциал.
С другой стороны полный дифференциал можно представить как сумму частных дифференциалов
Сопоставляя два последние уравнения видим, что
;
;
Тогда уравнение занимается таким образом: ρdФ = dP
Из этого уравнения следует, что “жидкость может находится в равновесии только в том случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию»