Лекция 5 Динамика идеальной и вязкой жидкости.

В целях упрощения постановки задач при изучении законов движения жидкости создана модель идеальной жидкости.

Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, которая характеризуется полным отсутствием вязкости и абсолютной неизменяемостью объема при изменении давления.

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из дифференциальных уравнений покоя (смотри Гидростатику), если согласно принципу Даламбера ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся жидкости.

- I _x , I_y , Iz,проекции силы инерции, равной произведению массы на ускорение, на оси координат I_x = ρ dx dy dz dU_x/ dt

проекции ускорений на оси координат.

Сила инерции направлена в сторону противоположную ускорению, поэтому она входит со знаком минус.

Вводя силу инерции в дифференциальное уравнение равновесия (уравнение Эйлера) получим:

Уравнение движения Эйлера для идеальной жидкости.

Граничные условия:

1. Непроницаемость стенки.

2. Безотрывное течение вдоль стенки

«Полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и от ускорения сил давления».

В векторной форме уравнение имеет вид

Переходя от идеальной жидкости к реальной (вязкой) жидкости, в полученные уравнения вводятся дополнительные слагаемые, учитывающие силы трения, отнесенные к единице массы жидкости.

Такая операция приводит нас к системе трех уравнений, называемых уравнениями Навье – Стокса.

Последнее дополнительное слагаемое учитывает силы трения. Выражения в скобках представляют собой соответствующие суммы вторых частных производных от U,V,W по координатам x,y, z.

Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений должны быть заданы граничные условия:

1. Условие прилипания частиц к твердой стенке а) равенство 0 скорости на неподвижной стенке или б) совпадение скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности.

2. В случае внешнего обтекания: задание скорости во внешнем потоке. В случае движения в трубе: задание расхода.

3. Задание давления в какой-либо одной точке потока

4. В векторном виде

5. , где символ ММ обозначает вектор с проекциями VU, VV, VW .

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Обратимся к интегрированию дифференциальных уравнений Эйлера для движения идеальной жидкости.

За время dt частица жидкости переместится вдоль элементарной струйки на расстояние ds (Проекция ds на оси координат dx, dy, dz)

6. Умножим каждое из уравнений на dx, de, dz и сложим

7. Формула

При установившемся движении P = f (x, y, z), поэтому выражение в скобках есть полный дифференциал давления, выраженный через частные производные dP.

Зная, что ; ; есть проекции скоростей от координат движущейся точки, получим

; или

Тогда уравнение можно записать в следующем виде

Предположим, что из объемных сил действует лишь сила тяжести, а ось z направлена вертикально вверх, тогда Х=0, Y=0, Z= - q, тогда последнее уравнение примет вид

в

Или разделив на –q и зная, что ρq = γ, будем иметь

Проинтегрировав это уравнение получим