Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести.

Основное уравнение гидростатического давления получают путем интегрирования системы дифференциальных уравнений равновесия.

Если предположить, что на жидкость действует только одна сила тяжести и направить ось Z вертикально вниз, то

X=0, Y=0, Z=q, тогда равновесия примет вид.

Интегрирование этого уравнения при постоянных значениях q и ρ приводит к результату p = ρqz+c

Рисунок

А если начало координат поместить на свободную поверхность покоящейся жидкости, где P₀ задано или для открытого сосуда равно атмосферному давлению, то из последнего уравнения при Z=0; c=P₀(P₀=ρq0+c)

Подставив значение постоянной С в уравнение и зная, что ρq=γ, получим величину гидростатического давления

P=P₀+γz

Обозначив через L заглубление точки М, h=z, получим P= P₀+ γh

P – давление в (.) М

P₀ – поверхностное давление

γh – весовое давление

Из основного уравнения гидростатики непосредственно вытекает закон Паскаля

Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью. Пусть давление в (.) А, расположенной на поверхности, определяющей жидкость от поршня, равно Р_а.

Рисунок

На основании основного уравнения гидростатики давление в точке В.

Р_в = Р_а+ γh

Увеличим давление в точке А, приложив к поршню дополнительное усилие. В точке А давление станет больше первоначального на величину Р_ср

Так как жидкость находится в состоянии покоя, то новое давление в точке

Р_в¹ = Р_а+Р_ср + γh

Очевидно, что в результате приложения к поршню дополнительного усилия давление в точке В изменится на величину

P_в¹-Р_в=Р_ср

Отсюда следует закон Паскаля: «изменение давления на граничной поверхности жидкости, находящейся в состоянии покоя, передается равномерно (без изменения) по всему объему жидкости.

Это соотношение является выражением общего гидростатического закона, который формулируется следующим образом: «Давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице».

Кроме того, это уравнение показывает, что гидростатическое давление Р по координате Z изменяется по линейному закону и при данном значении Z есть величина постоянная.

Изменение давления p₀ на граничной поверхности покоящейся жидкости передается одинаково по всему объему жидкости (закон Паскаля)

Если давление p больше атмосферного, то разность p-p_a=p_m называется монометрическим давлением.

Если давление меньше атмосферного давления, то р_а- р=р_в называется вакуумметрическим давлением.

Гидростатическое давление измеряется жидкостным и механическими приборами: Жидкостными: пьезометрами, манометрами, дифференциальными, микроманометрами и т.д.

rrRжидкости удельного веса γ.

Равновесие жидкости в поле силы тяжести и силы инерции (относительный покой)

Пусть жидкость налита в сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростьюω вокруг вертикальной оси.

Рисунок

Благодаря силам трения, возникающим при движении стенки вращающегося сосуда, будут увлекать за собой жидкость и по истечении некоторого времени вся жидкость будет вращаться вместе с сосудом с той же угловой скоростью ω, находясь по отношению к стенкам в покое.

В данном случае объемная сила F, действующая на единицу массы жидкости, состоят из двух сил: силы тяжести g и центробежной силы инерции ω²r.

Тогда проекции объемной силы на оси координат будут равны:

X=ω²rcos£

Y=ω²rsin£

Z= -g

Имея в виду, что r cos £=x, r sin £= y

Будем иметь:

X=ω²x,

Y=ω²y,

Z=-g.

Подставив значения ускорения в уравнение Эйлера, получим

Проинтегрировав это уравнение, получим

Зная, что x²+y²=r², получим

Р=ρ ω²r²\2 – γz+ C

Константу С находим из условия r=0, z =z₀'

P₀=γz₀^' + С, откуда С=Р₀+γz₀^'_, где Р₀=Р_ат=0

Тогда

Р= ρ ω² r²\2 – γ(z – z₀)

Найдем уравнение свободной поверхности.

В этом случае Р=Р₀=Р_атм

γ( Z₀-Z₀^') =ρ ω² r²|2

(Z₀-Z₀^')=h= ω²r²\2g

Из уравнения следует, что свободная поверхность жидкости, представляет собой параболоид вращения.

Давление жидкости на плоские стенки.

Пусть плоская стенка наклонена под углом £ к свободной поверхности. Ось координаты у направим вдоль стенки. Выделим плоскую фигуру, площадью ω, давление на которую требуется определить.

1. Выделим элементарную площадку dΩ, тогда сила, с которой жидкость давит на нее равна

Рисунок

dF = (P₀ + γh) dΩ

2. Проинтегрируем это выражение по площади Ω

F = ∫_Ω ( Р₀ + γh) dΩ, где h = y sin£

F = ∫_Ω (P₀ + γy sin £) dΩ = ∫_Ω Р₀Ω + γ sin£∫_Ω y dΩ

Нам известно, что ∫_Ω y dΩ есть статический момент инерции плоской фигуры относительно оси х.

∫_ΩY d Ω = γ_cΩ, где у_с – координаты центра тяжести плоской фигуры.

Получим

F = P₀ Ω + γh_cΩ = (Р₀ + γh_c) Ω

Из уравнения следует, что давление жидкости на плоскую стенку (или на плоскую фигуру) равно произведению давления в центре тяжести плоской фигуры на ее площадь.

Видно, что давление жидкости на плоскую фигуру состоит из двух частей .

F₀=P₀Ω –силы внешнего давления жидкости на плоскую фигуру и определяется давлением на свободную поверхность.

F_П=γhΩ – силы избыточного давления на плоскую фигуру, которое зависит от глубины погружения центра тяжести плоской фигуры, то есть от избыточного давления γh.

Закон Архимеда.

Рисунок

1. Предположим, что вертикальный цилиндр, имеющий высоту Н, площадь основания S, объем W, погружен в жидкость.

2. При этом верхнее основание цилиндра погружено на глубину h₁, а нижнее на глубину h₂

3. Рассматриваемый цилиндр будет находиться под действием следующих сил гидростатического давления:

А) силы P, действующей на верхнее основание цилиндра

Б) силы P_2, действующие на нижнее основание цилиндра

В) сил гидравлического давления, действующих со всех сторон на вертикальную поверхность цилиндра и направленных нормально к его вертикальной оси. ( Эти силы будут между собой уравновешиваться, так как они равны по величине и противоположны по направлению.

4. Сила P₁= Sγh₁ – направлена сверху вниз

Сила P₂= Sγh₂ – направлена снизу вверх

Очевидно, что сила P₁ будет стремиться погрузить тело в жидкости, а сила P₂ – вытолкнуть тело из жидкости.

6. Так как P₂>P₁, то сила гидростатическое давления, действующая на тело, погруженное в жидкость, будет стремиться вытолкнуть его из жидкости.

Разность сил P₂ – P₁ называется поддерживающей силой.

P_n = P₂ – P₁ = Sγh₂ - Sγh₁ = Sγ(h₂ – h₁) = SγH = γW

Следовательно, поддерживающая сила P_n, действующая на тело погруженное в жидкость, равна весу объема жидкости, вытесненного телом.

В зависимости от соотношения P_n и веса тела 6 возможны следующие состояния тела:

1. G>P_n – тело тонет

2. G<P_n – тело всплывает

3. G=P_n – тело плавает