2. Вывод формул для вычисления прямоугольных эллипсоидальных координат

Вывод полных формул для вычисления в 6-градусной зоне очень громоздкий из-за сложности фигуры эллипсоида. Рассмотрим вывод сокращенных формул для вычислений в 2-градусной зоне. В этом случае можно принять Землю за шар и, применяя при выводе метод разложения тригонометрических функций в ряды, ограничиться двумя или тремя членами рядов.

На рис. 2.1 РfdO — осевой меридиан зоны с долготой L₀; D — точка на поверхности сферы с широтой В и долготой L; f — основание сферического перпендикуляра, опущенного из точки D на осевой меридиан; d — точка пересечения параллели точки D с осевым меридианом; O — точка пересечения осевого меридиана с экватором; Df — дуга первого вертикала в точке f или сферическая ордината точки D; обозначим ее через y_c ; Dd — параллель точки D с широтой В; DC — сферический перпендикуляр, восставленный в точке D к дуге Dd, или, иначе, дуга малого круга, плоскость которого параллельна плоскости осевого меридиана; Of — сферическая абсцисса точки D; обозначим ее через х_C ; это дуга осевого меридиана от экватора до основания ординаты; γ₁ — сближение меридианов.

Рис. 2.1

Обозначим широту точки f через В_f. Радиус сферы примем равным N — радиусу кривизны первого вертикала в точке D.

В прямоугольном сферическом треугольнике fPD нам известны: угол fPD = L — L₀ =l; сторона РD = 90° — В. Выражая сторону fD, равную y_c в долях радиуса, по формулам сферической тригонометрии можем написать

(2.1)

, (2.2)

(2.3)

Вспомним разложение в ряд:

Беря для малых величин sin и sin l по два члена ряда, получаем

Для последнего малого члена можно принять , тогда

Переходя к градусной мере, окончательно получим

. (2.4)

Выведем формулу для сближения меридианов. Возьмем для малых величин tg γ₁ и tg l по два члена ряда и тогда (2.3) примет вид

Переходя к градусной мере, окончательно получаем

(2.5)

Абсциссу х_с легко получим, если будем знать длину дуги меридиана от экватора до параллели с широтой В и дугу df. Обозначая длину дуги от экватора до параллели с широтой В через Х, видим (см. рис. 2.1), что

.

Длины дуг меридиана от экватора до параллелей с любыми широтами можно вычислить заранее или взять готовыми из таблиц, поэтому для определения абсциссы х_с нам нужно только вывести формулу для вычисления дуги df или, что то же самое дуги (х_с — Х).

По формуле (2.2: ) определим tg В:

tg В = cos l tg B_f.

Возьмем для cos l три члена ряда, тогда напишем

Из сферического треугольника fPD имеем

Теперь можно написать

Для малой величины возьмем два члена ряда, тогда

Применяя к этому двучлену формулу бинома Ньютона и ограничиваясь двумя его членами, имеем

Для малого члена можно принять

Подставляя это выражение для в формулу для в формулу для sin(B_f –B),

пишем

Выражая (B_f –B) в секундах дуги и беря для sin(B_f –B) один член ряда, так как дуга

B_f –B мала, получаем

Имея теперь разность широт точек f и d, вычисляем искомую длину дуги fd = х_с — Х по формуле

(при перемножении выражений, стоящих в скобках, последний член— , в ввиду его малости, отброшен). Делая дальнейшие преобразования, последовательно получаем

Так как

6 cos² В — 1 = 6 cos² В — sin² В — cos² В = 5 cos² В — sin² В,

окончательно получим

(2.6)