3 132. Перенос направлений с поверхности эллипсоида на проекцию (редуцирование направлений) формула вычисления дирекционного угла направления

Стороны треугольников триангуляции при переносе с земной поверхности (с поверхности эллипсоида) на плоскость изображаются кривыми, вогнутостью направленными в сторону оси абсцисс. Углы между этими кривыми, считаемые как -углы между касательными к кривым в вершине угла, по условию конформности проекции равны измеренным на местности. Чтобы иметь возможность решать тре- угольники, от криволинейных сторон переходят к прямолинейным, заменяя кривые хордами. Как показано в $ 131, длины прямолиней- ных сторон практически равны длинам их действительных изображе- ний. Углы в новых треугольниках с прямолинейными сторонами отличаются от углов с криволинейными сторонами, а следовательно', и от измеренных на местности, на величины, зависящие от углов между кривыми и хордами. Заменяя кривые (действительные) изо- бражения сторон угла хордами, мы изменяем направления сторон угла на величину 6. Следовательно, эти величины нужно рассматри- вать как поправки к измеренным направлениям при переходе от кри- волинейного изображения линий, соответствующих этим направле- ниям, к прямолинейным изображениям. Поэтому углы б называются поправками за кривизну изображения гео- дезических линий на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера или, кратко, редукциями на- п р а в л е н и й. Направления же, в которые введены эти поправки, называются редуцированными на плоскость на- правлениями.

Выведем формулу для вычисления величины 6. Пусть на рис. 154: аа'b — изображение в проекции Гаусса — Крюгера геодезиче- ской линии или нормального сечения (стороны треугольника три- ангуляции) между точками а и Ь с координатами х„у, и х„у,.

23 заказ l921 353

На поверхности эллипсоида (рис. 155) соответственно (см. рис. 154) имеем: ОРС — осевой меридиан зоны, АВ — геодезическая линия, ~,ВС и AD — эллипсоидальные координаты точек В и А. По малости длины линии АВ в сравнении с размерами Земли примем ее за шар с радиусом В, равным среднему радиусу кривизны в точке с широтой средней между широтами точек А и В и проведем дугу большого круга СА. Конечно, АВ, СВ, AD и DC также являются дугами больших кругов.

Обозначая сферические избытки треугольников АВС и AgD ,через е, и е„для суммы углов в сферической фигуре АВСХ) имеем

,~~ = 360'+ з~+ е,.

Сумма углов в четырехугольной фигуре аа'bcd равна

3,=~~0'+8,,+8 „

следовательно,

81.,+82.,=~,+~

Выражая сферический избыток по (107), берем один первый 'ее член и, определяя площадь фигуры аа'bcd по координатам ее вер- шин, можем написать

= 8 + 8 =- (' ' ') (у'+"')

з1 Гз2 1 • 2+ 2. 1

Углы 8, ~ и 8~ ~ по величине различаются между собой мало н, например, для сторон триангуляции 3 класса могут быть приняты одинаковыми. Поэтому можно написать

(х2 — х1) (у1+у2)

2 = 82

Введем в эту формулу среднюю ординату у,„и выразим углы 8 's .секундах. Окончательно получим

у1+.у2 — Р

:-'У= - ., 8,,=8,,= — „,.(,—,) ы.

354

или

6~, = 6~ 1 — — j (s, — х,) у . (137) Мы получили абсолютную величину углов 6, ~ и 6,, Но эти углы

можно рассматривать и как поправки к направлениям при замене их криК линейного изображения прямолинейным и считать, как принято, ля направлений, х, и у, — координатами начального пункта н правления, л., и у, — координатами его конечного пункта.

Рассматривая углы 6 как поправки к направлениям, видим, что если для направления с точки а с координатами х, и у, на точку b с координатами х, и д~ поправка 6, ~, вычисленная по формуле (137), получается с одним знаком, например положительной, то для об- ратного направления с точки b на точку а поправка 6,, получится такой же по абсолютной величине, но с обратным знаком, т. е. отри- цательной. Это понятно, так как при одной и той же средней орди- нате у в прямом и обратном направлениях взаимно меняются на- чало и конец направления и их абсциссы. Поэтому одновременно с формулой (137) получается и формула

62. 1 61. 2s

(138)

в которой 6, ~ и 6, ~ — поправки взаимно противоположных на- правлений.

Этими формулами пользуются при вычислениях в триангуляции 3 класса и ниже.

В зависимости от того, ж ) ж или х, ( х„а также от положи- тельного или отрицательного у, поправки 6, вычисленные по фор- муле (137), получаются положительными или отрицательными, и как поправки к измеренным направлениям должны всегда алгебра- ически вычитаться из измеренных направлений. Это ясно видно на рис. 156.

Обозначим измеренные на пункте о направления через М,», М„, М„, , тогда направления, исправленные поправками за кривизну изображения геодезических линий на проекций, или ре- дуцированные на плоскость направления 1V,», Х,~, NД а т. д., получаются по формулам

Х,» =М,» — 6,»

Not Мо! 6ol

~ог Мог 6ог (139)

и т.д.

Определим поправку за редуцирование угла. Согласно (137), угол ~ A:ol (см. рис. 156), редуцированный на плоскость, равен

~ kol = Л~,, — Л~,» — — (М,, — М,~) + (бo» — 6„).

Следовательно, поправка, которую нужно прибавить к измерен- ному углу, равна разности: поправка для левон стороны угла минус поправка для правой стороны.

23»

Если рассмотрим треугольник, вершины которого обозначим через 1, 2 и 8 (рис. 157), то для его редуцированных углов следует написать

~ 1 = ~ 1 3 ' Ж1 2 = (М1 3 М1 2) + (61 2 — 61 3) ь ~ 2 = Х2.1 — Л~а.з = (Мал ™а.з) + (62.з — 62.1) ~

~~ 3.2 ~ 3.1 (Мз.а М3.1) + (63.1 63.2)'

Рис. 157

Складывая левые и правые части этих равенств, получаем

180' = 180'+ е + (61.2 — 61.з) + (62.з — 62л) + (6зл — 63 2)

или

(61.2 — 61.3) + (62. з — 62.1) + (6з, — 6з 2) = — е. (140)

Этим равенством пользуются для конт- роля вычисления поправок 6.

В триангуляции 2 класса применяется более точная формула

fl

6,.~ — — 6, (х, —. х,) (2у, + у 2) =Рис. 158 Как видно, поправки 6, вычисленные по

этой формуле для прямого и обратного на- правлений, будут различаться не только зыа

ком, но и по абсолютной величине. В триангуляции 1 класса применяется еще более полная формула.

Заметим, что в вычислительной практике считают более удобным поправку за редукцию направлений прибавлять к измеренным напра- влениям (по аналогии с поправками за центрировку и редукцию), поэтому вычисляют эти поправки по формулам

61.2 = — 62.1 = f (>i — ~2) <'

6;, = — f (х, — х.,) (Ду1л у,).

Поправка за редуцирование угла в этом случае будет равна раз- ности: поправка для правой стороны угла минус поправка для левой стороны.

Выведем формулу для вычисления дирекционного угла геодези- ческой линии.

На рис. 158 показано изображение в проекции Гаусса — Крюгера: ОР — осевой меридиан зоны, РК — меридиан в точке K, KL—

геодезическая линия, А — азимут геодезической линии, а — дирек- ционный угол геодезической линии, у — сближение меридианов.

Непосредственно по рисунку можно написать

а= А — у — 6~z,.

Если же поправку 6к~ определить по (142) или по (143), то а= А — у+6кь. (144) (145)

f 133. ПЕРЕНОС ТРИАНГУЛЯЦИОННОЕ СЕТИ

С ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА

НА ПЛОСКОСТЬ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА — КРЮГЕРА

Перенос триангуляционной сети с поверхности эллипсоида на плоскость заключается, в конечном счете, в переходе от эллипсо- идальных треугольников к плоским с прямолинейными сторонами и в получении координат Гаусса — Крюгера для всех пунктов сети.

Первоначальными исходными данными для построения триангу- ляционной сети являются широты и долготы одного или нескольких пунктов, длины базисных сторон и их азимуты и измеренные на мест- ности углы (направления). Перенеся эти элементы триангуляции по правилам проекции на плоскость, координаты всех остальных пунктов триангуляционной сети получают вычислениями на плос-

кости.

Таким образом, переносят триангуляционную сеть с поверхности эллипсоида на плоскость в такой последовательности:

1) по известным широтам и долготам исходных пунктов вычисляют их прямоугольные координаты;

2) на концах базисных сторон вычисляют Гауссово сближение меридианов и дирекционные углы базисных сторон;

3) редуцируют на плоскость длины базисных сторон;

4) для измеренных направлений вычисляют поправки 6 за кри- визну изображения геодезических линий на плоскости и получают редуцированные на плоскость направления и углы.

В заполняющих сетях 3 класса исходными данными являются пункты, для которых известны координаты Гаусса — Крюгера, поэтому перенос такой сети с поверхности эллипсоида на плоскость сводится только к вычислению поправок 6 за редукцию направлений и в получении редуцированных направлений.

Сделаем такие вычисления для рассматриваемой нами сети, изо- браженной на рис. 97.

Вычисления ведем в такой последовательности:

1. Вычисляем приближенные координаты определяемых пунктов Дудино, Верховье, Спасское. Приближенные координаты обыкно- венно вычисляют или по двум сторонам, беря их из разных треуголь- ников и применяя формулы

х, = х, + дх~ cos а| 2 и у, = ух+ Ых, sin а, „

или по формулам котангенсов углов треугольника. Длины сторон берут из предварительного решения треугольников. Углы вычисляют по приведенным направлениям с точностью до 1'. Сделав такие вы- числения, для приближенных координат пунктов получим данные, приведенные в табл. 53. Вычисляем поправки б (табл. 54 — 55). Координаты пунктов выражаем в километрах до 0,01.В триангуляции 3 класса поправки 6 можно вычислять с точно- стью до 0',1 по (137) или (142). Но для того чтобы яснее была видна разница в этих поправках для взаимно противоположных направле- ний при длинных сторонах и для большей наглядности контроля по- правок 6 по сферическому избытку, вычислим поправки б по (143) с точностью до 0",01.Т5

Не приводя полных вычислений поправок 6 для остальных напра- влений сети, даем их в окончательном виде (табл. 56).

Таблица 56 Поправки 6

Поправки б вычисляют непосредственно в карточке предвари- тельной обработки при ее составлении и запись вычислений делают как показано для Яхонтово.

3. Контролируем вычисление поправок б (табл. 57) по сфериче- скому избытку по (140).

тк

(в карточке предварительной обработки к направлениям «сфериче- ские»). Понятно, что редуцированные направления можно получить и так: сначала вычислить сумму с4-r + б поправок для каждого направления, затем прибавить эти суммы к измеренным направле- ниям.

Редуцированные направления вычисляют непосредственно в кар- точке предварительной обработки, образец которой для п. Яхонтово дан в ~ 86. В этой карточке редуцированные на плоскость направле- ния записаны под заголовком «Направления, приведенные к центру на плоскости».

3 134. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ГАУССА — КРЮГЕРА

ИЗ ОДНОЙ ЗОНЫ В ДРУГУЮ

Ходы полигонометрии, проложенные между триангуляционными пунктами, нередко имеют начальный пункт, расположенный в одной зоне, а конечный в другой — смежной. В триангуляционной сети, подлежащей уравниванию, одна часть твердых пунктов может нахо- диться в одной зоне, а другая в смежной. И в том и в другом случае часть пунктов будет иметь координаты Гаусса — Крюгера в одной системе (1-й зоны), а часть пунктов в другой системе (2-й зоны).

Уравнительные вычисления делают в одной системе координат, поэтому часто возникает необходимость еще до уравнивания иметь координаты всех твердых пунктов в системе одной (первой или вто- рой) зоны. Приходится решать следующую задачу: для пункта из- вестны координаты Гаусса — Крюгера х„у, в зоне с осевым мери- дианом, имеющим долготу Х (1-я зона); требуется вычислить коор- динаты Гаусса — Крюгера х, и у, этого пункта в смежной зоне с осе- вым меридианом, имеющим долготу L, = L, + l (2-я зона).

Эта задача носит название «преобразование координат Гаусса— Крюгера из одной зоны в другую» и может решаться различными способами. Рассмотрим два из них.

Первый способ заключается в том, что по известным для пункта координатам х~ и у, вычисляют широту В и долготу L, затем по широте и долготе вычисляют координаты х~ и у«в смежной зоне. Вычисления требуют значительного времени, поэтому указанный способ применяют редко, когда нужно преобразовать координаты небольшого числа пунктов с большой точностью.

Рассмотрим другой способ со вспомогательной точкой. Сущность преобразования координат заключается в следующем.

Пусть триангуляционный пункт, координаты которого нужно преобразовать из одной зоны в другую, изображается на плоскости в системе 1-й зоны в точке А (рис. 159) и в смежной 2-й зоне в точке А' (рис. 160).

Возьмем на осевом меридиане 2-й зоны вспомогат

ельную точку Р, изображающуюся в системе координат 2-й зоны в точке Р,'. Очевидно, во 2-й зоне координатами точки Р; будут: Х, — длина дуги мери- диана от экватора до вспомогательной точки Р и О. Поскольку вспо-

могательную точку выбирают заранее, величина Х, нам известна. Легко видеть (см. рис. 160), что искомые координаты х~ и у~ опреде- лятся по формулам

х, =Х,+Дх'

уs= Ду (146)

(148) Следовательно, задача сводится к нахождению приращений Дх'

и Ду'. Для этих приращений имеем формулы Крюгера, которые имеют вид

Дх' = Дх — (1 — Ь~,) h,х — g Ду -+ сРт, cos (2д+ ~,) +

+ сРт, cos (Зб+ р,) + d~т4 cos (46+ p4) +..., (147) Ду' = Ду — (1 — h ) Ду+ Qд Дх+ сРт, sin (26+ p>) +

4- сРт~ sin (Зд + ps) + d~т4 sin (46+ p4) + '

4 ~2 L)

7j

~х

ьу

Ь(хп й~ 1 <z 1 х, ~Е

Рис. 159 Рис. 160

Для получения первых членов Дх и Ду этих формул сначала по координатам Х, и 0 определяют геодезические координаты — широту и долготу вспомогательной точки Р, по которым вычисляют прямо- угольные координаты Гаусса — Крюгера х, и у, изображения Р, вспомогательной точки в системе координат 1-й зоны~ Получив коор- динаты х, и у„находят величины Дх и Ду

Дх=х,— х, и Ду=у~ — у,.

Зная Дх и Ду, определяют величину d — длину линии Р,А и д — дирекционный угол этой линии по уравнениям

Дх=дсозд и Ду=дз|пд.

Величины й, 1> й, „т„т„... иуглы p2, pS, р4,... являются функ- циями: 1) масштаба изображения и Гауссова сближения меридианов в точке Р, при изображении эллипсоида в 1-й зоне; 2) широты В подошвы ординаты точки Р,; 3) радиуса кривизны меридианного сечения на этой широте; 4) величины q' = е' cos' В. Все эти вели- чины вычисляют заранее при . выборе вспомогательной точки Р.

36i

Получив, таким образом, все члены, входящие в правую часть уравнений (147) — (148), вычисляют приращения Лх' и Лу', затем по (146) находят искомые преобразованные координаты х~ и у~ изображения А' точки во второй зоне.

На эти вычисления требуется довольно значительное время, но решение этой задачи может быть упрощено соответствующим выбо- ром вспомогательной точки Р и применением специальных таблиц [7].

При составлении этих таблиц вспомогательная точка Р взята так, что абсцисса х, ее изображения в первой зоне равна подлежащей преобразованию и известной абсциссе х, точки А, т. е. х, = х~, и, следовательно, дирекционный угол д равен 90 или 270', И = Лу; Лх = 0; формулы (147) — (148) путем целесообразных преобразований приведены к простому виду.

Благодаря этому окончательные формулы, которыми пользуются при вычислениях, таковы

ха = Хо+ (а + Ь Лу10-1о) Лу+ с

у,=Лу+(а,+Ь, Лу10 ") Лу+ с, (149)

Формулы, выражающие величины а, а„Ь, Ь„с и с, через h, „ й „т„<s, т4,... и т. д., входящие в (147) — (148), не приводим. Их можно найти в самих таблицах.

В таблицах даны по аргументу х, величины у„Х„а, Ь, а„Ь~ и по аргументам Лх~ и Лу величины с и с. Величина с, приведенная в таблицах без знака, имеет знак, обратный Лу.

, Подробное объяснение, как пользоваться таблицами, и различные примеры на преобразование координат с полными решениями приве- дены в самих таблицах, поэтому здесь приводить их не будем. Кроме указанных выше таблиц, имеются и другие таблицы, например А. А. Изотова, Е. Е. Бирюкова и др.

ИБЙмв:Ф',-