5. Гауссово сближение меридианов
Как известно, прямыми линиями в проекции Гаусса — Крюгера изображаются только осевой меридиан зоны и экватор. Всякие другие линии на поверхности эллипсоида изображаются в проекции кривыми. На рис. 5.1 схематически показано изображение в проекции Гаусса — Крюгера: Pf -осевой меридиан зоны; PD — меридиан в точке D; DС — сфероидический перпендикуляр, восставленный в точке D к сфероидической ординате; у — ордината точки D; γ1 — сближение меридианов на эллипсоиде, называемое геодезическое сближение меридианов; γ — сближение меридиа нов на плоскости, называемое Гауссово сближение меридианов.
Рис. 5.1
Гауссово сближение меридианов — это угол между изображением меридиана и направлением, параллельным оси х.
Проекция конформная, следовательно, угол γ1 в проекции равен его величине на эллипсоиде и определяется выведенной нами формулой (2.5: ) Гауссово сближение меридианов γ очень мало отличается от геодезического сближения меридианов γ1 и практически их можно считать равными. Точная формула для Гауссова сближения меридианов такая
(5.1)
Сближение меридианов и координаты вычисляют одновременно.
6. Вычисление координат Гаусса — Крюгера по геодезическим координатам и геодезических координат по координатам Гаусса — Крюгера
«Таблицы для вычисления плоских конформных координат Гаусса» основаны на приведенных выше полных формулах, но для удобства пользования ими и для сокращения записей при вычислениях эти формулы при составлении таблиц преобразованы и приведены к виду рядов по степеням l и у.
Не раскрывая формул для отдельных членов этих рядов, напишем сразу в окончательном виде полные практически применяемые формулы.
1. Вычисление координат Гаусса — Крюгера по геодезическим координатам
2. Вычисление геодезических координат по координатам Гаусса-Крюгера
В этих «Таблицах» даны подробные объяснения, как пользоваться ими и приведены примеры с полными вычислениями обеих задач.
3 131. Перенос линии CjHobepxhocth эллипсоида
НА ПЛОСКОСТЬ (РЕДУЦИРОВАНИЕ РАССТОЯНИИ)
Измеренная на поверхности эллипсоида линия (базис триангуля- ции, непосредственно измеренная сторона треугольника триангу- ляции, стороны полигонометрических ходов) длиной s изображается в проекции Гаусса — Крюгера кривой DE, имеющей длину S (рис. 153). Обозначим бесконечно малые элементы этих линий со- ответственно через ds и dS. По определению
масштаба проекции, учитывая ее конформность,
имеем
m = — dS=mds. dS
d»
Рассмотрим в (120) для масштаба изображения
два первых члена ряда и напишем
т=п=1+ у',
2.Л'"'
Заменим в этой формуле радиус кривизны 1V средним радиусом кривизны В (этим учтем сфе- роидичность Земли), а сфероидическую ординату у, ординатой у Гаусса — Крюгера. Такую замену ординат можно сделать, так как мы ограни-
чились для масштаба двумя членами ряда. Теперь получим
dS — 1+, сЬ.
Небольшие по длине линии (до 10 — 12 кл) можно практически считать бесконечно малыми в сравнении с размерами Земли и принять
ds=s и dS=S.
Для ординаты у возьмем среднее значение у из ординат конеч- ных точек линии, тогда окончательно будем иметь
S= 1+ — ", s; S=s+ ", s. (132)
Радиус кривизны Л ввиду малого изменения его с изменением широты можно брать для средней широты значительной по размерам территории.
Величина —, s всегда положительная, следовательно, длины Уги изображений линий в проекции Гаусса — Крюгера всегда больше
длин соответствующих линий на поверхности эллипсоида. Это также
видно и по величине масштаба, так как он больше единицы. Формула (132) показывает, что при переносе линий с поверхности эллипсоида на проекцию нужно во все измеренные линии вводить поправку,
y2
равную —" s. Эта поправка называется р е д у к ц и е й р а с-
2Д2
Искажения длин линий показаны в табл. 51 и 52.
Кривизна изображения линии в проекции, а также углы б ~ и б„которые кривая составляет с хордой, невелики, поэтому прак-
тически можно принять длину хорды
Таблица 51
равной длине кривой. Обозначая длину относительные искажения хорды через ~, можем написать
1: 2500 Формулой редукции расстояний часто пользуются в логарифмическом виде
1gd=lg s+ — ~ — s =1g s+
2R2
Ограничиваясь одним членом ряда для выражений вида 1g (1+ х),
имеем
1g (1+ х) = рх,
где н, — модуль Бригговых логарифмов, равный 0,4342945.
Поэтому, ограничиваясь одним членом ряда, можем написать
2Л2
Формула (134) обеспечивает в поправке за редукцию расстояния единицу седьмого знака логарифма и применяется в сетях триангу- ляции 3 и 4 классов и в полигонометрии.
В триангуляции 2 класса применяется более точная формула
или, в логарифмическом виде,
РутА РАУ
2В~ 24R~ ' (136)
обеспечивающая в поправке 0,5 единицы седьмого знака логарифма.. Наконец, в триангуляции 1 класса пользуются формулой
1@<=-1а + — + РУги РАУ РУги
2R> 24R2 12Д4 '
сохраняющей в поправке за редукцию расстояния единицу 8-го знака логарифма.
В этих формулах Лу — разность: ордината конечной точки ли- нии минус ордината начальной точки линии.
Ординаты точек для вычисления поправок за редукцию расстоя- ний достаточно вычислять с точностью до 5 м.