4. Формулы для вычисления координат Гаусса — Крюгера по геодезическим координатам и геодезических координат по координатам Гаусса — Крюгера

По условию проекции абсцисса х точки в координатах Гаусса— Крюгера равна ее сфероидической абсциссе х_с поэтому

(4.1)

Выведем формулу для ординаты у.

Обозначим бесконечно малый элемент ординаты на плоскости через dy, а соответствующий ему бесконечно малый элемент сфероидической ординаты через dy_с. Тогда, по определению масштаба и согласно (3.1), напишем

Интегрируя это уравнение, получаем

Последний член в этой формуле целесообразно учитывать одновременно со сжатием земного эллипсоида. При выводе формулы для сфероидической ординаты у_с сжатия земного эллипсоида не учитывали, поэтому и сейчас в правой части написанного уравнения ограничимся двумя членами.

В соответствии с 2.4: будем иметь

(здесь во втором члене взято для у_с приближенное его значение .

Окончательно получим

. (4.2)

По (4.1) и (4.2) можно делать вычисления в пределах двухградусной зоны, т. е. при l ≤1° или при l > 1° применяют полные формулы. Приводим эти формулы без вывода

(4.3), (4.4)

Здесь

.

Формулы для вычисления геодезических координат В и L по известным координатам х и у Гаусса — Крюгера выводятся из совместного решения уравнений (4.3) и (4.4) способом приближений. Путь вывода следующий.

Из (4.4), беря в правой части равенства один первый член, находим l" в первом приближении

.

С этим значением l" определяем l"³ и, подставляя его во второй член уравнения (4.4), имеем

.

По этому уравнению находим l" во втором приближении и по найденному для него значению определяем l"³ и l"⁵ . Подставляем найденные для них значения снова в уравнение (4.4) и определяем из него l" в третьем приближении. С третьим приближением для l" определяем l"², l"⁴ и l"⁶ и, подставляя найденные для них значения в (4.3), находим (опуская математические преобразования)

(4.5)

Напомним, что абсцисса х — дуга осевого меридиана зоны от экватора до основания ординаты у (на рис. 3.1 это дуга Of), Х — дуга осевого меридиана от экватора до параллели с широтой В (на рис. 3.1 это дуга Od). Широту точки f обозначали через B_f следовательно, разность х — Х - дуга осевого меридиана, соответствующая разности широт В_f — В.

Обозначим

b"=- (B_f — В)"; s = х — Х..

Применим формулу для вычисления дуги меридиана и заменив в ней во втором члене в скобках дугу s ее приближенным значением по равенству

(4.6)

Приравнивая правые части (4.5) и (4.6), получаем уравнение, из которого способом приближений определяем (В_f — В)".

Нетрудно видеть, что полученная разность будет зависеть от неизвестной пока широты В. Поэтому для получения окончательной формулы производят в правой части равенства, определяющего разность (В_f — В)", математические преобразования, приводящие к замене функций широты В функциями широты B_f, и получают для разности (В_f — В)" формулу

(4.7)

Искомую широту В вычисляют по формуле

B = B_f – (В_f — В). (4.8)

Разность долгот l", полученную ранее в третьем приближении, после математических преобразований, также приводящих к замене функций широты В функциями широты B_f, вычисляем по формуле

(4.9)

Искомая долгота определится по формуле

L = L₀ + l, (4.10)

где L₀ — долгота осевого меридиана зоны.

Для вычислений по формулам (4.3), (4.4), (4.7) и (4.9) составлены специальные таблицы.