1.4. Прямые и обратные волны в длинной линии
Используя (1.8) - (1.11), а также связь u(x,t) и i(x,t) с комплексными амплитудами, перейдем к мгновенным значениям u(x,t) и i(x,t):
(1.12)
где φ1 и φ2 аргументы комплексных величин А1 и А2, а φв – аргумент волнового сопротивления.
Как явствует из (1.12), каждое из решений представляет собой сумму двух слагаемых. Рассмотрим сначала первые из них:
(1.13)
Анализ (1.13) показывает, что они могут быть интерпретированы как бегущие волны соответственно напряжения и тока, распространяющиеся вдоль положительного направления оси х с коэффициентом затухания α. Эти бегущие волны получили название прямых (или падающих) волн напряжения и тока.
Определим длину волны этих волн λв. Так как по определению длина волны есть расстояние между двумя точками волны, взятыми в направлении её распространения, фазы в которых различаются на 2π, то
.
Отсюда
(1.14)
Найдем скорость, с которой распространяется в линии прямая (падающая) волна. При этом под скоростью распространения в данном случае надо понимать скорость, с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны, например, скорость, с которой перемещается вдоль линии некоторый нуль напряжения или тока.
Это условие можно выразить как:
Откуда
и, следовательно:
(1.15)
Найденное выражение определяет так называемую фазовую скорость волны.
Если теперь обратиться ко вторым слагаемым решения (1.12),
(1.16)
то легко убедиться, что они описывают волну такого же характера, как и прямая, но распространяющуюся в обратном направлении. Эти волны получили название обратных (или отраженных) волн напряжения и тока.
Фазовая скорость обратной волны совпадает с точностью до знака с таковой для волны прямой. Амплитуда обратной волны напряжения или тока убывает в направлении от конца линии к ее началу.
Учитывая (1.13) и (1.16), выражения (1.8) и (1.9) можно представить в следующем виде:
(1.17)
где
- имеют смысл комплексных амплитуд
прямой и обратной волн напряжения, а
- комплексных амплитуд падающей и
отраженной волн тока.
Важно отметить, что для любой координаты х, т.е. для любой точки линии выполняется
(1.18)
Выражение (1.18) можно интерпретировать как закон Ома для прямых и обратных волн. Кроме этого (1.18) может быть использовано для определения физического смысла волнового сопротивления.
Введем понятие коэффициента отражения, которое играет важную роль в анализе цепей с распределенными параметрами. По определению коэффициент отражения в любом сечении линии х есть отношение комплексных амплитуд напряжения или тока обратной и прямой волн в этом сечении, т.е.
(1.19)
Очевидно, Г(х) является комплексной величиной, причем |Г|≤1, если, разумеется, генератор подключен на входе в линию.
Постоянные интегрирования А1 и А2 могут быть найдены из граничных условий, т.е. по известным токам и напряжениям на входе или выходе длинной линии (рис. 2)
Рис. 2
Так,
если при х=0
;
İ(0)=İ1,
то согласно (1.17) Ủ1=А1+А2,
Zвİ1=А1+А2.
Тогда:
(1.20)
Подставляя (1.20) в (1.19) дает выражение для коэффициента отражения в начале линии:
(1.21)
где
входное сопротивление длинной линии.
Нетрудно обобщить формулу (1.21) на любое сечение длинной линии:
(1.22)
где
- входное сопротивление линии в точке
х.
Подставляя значения А1 и А2 из (1.20) в уравнения (1.8), (1.9), учитывая (1.21) и (1.22), получим:
(1.23)
Если граничные условия задаются в конце линии в месте подключения нагрузки при х=l, т.е. Ủ(l)= ỦН, İ(l)= İН, то
.
Подставляя эти выражения в (1.8), получим:
(1.24)
Здесь
–
координата, отсчитываемая от конца
линии (нагрузки), а ГН≡Г(l)
и в соответствии с (1.22):
(1.25)
Выражения (1.23) и (1.24) можно переписать и в другой форме. Учитывая формулы для А1 и А2, а также (1.17), получим для (1.23)
(1.26)
аналогично для (1.24):
(1.27)